Questão 1 - Duas fábricas A e B produzem o mesmo tipo de componente eletrônico. Sabe-se, por controle de processo, que a variância da vida útil dos componentes das fábricas é conhecida e igual a \sigma_{A}^{2}=225 e \sigma_{B}^{2}=144. Foram coletadas amostras independentes: da fábrica \mathrm{A}, n_{\_}=50 componentes com média \bar{x}_{A}=520 horas; da fábrica B, n_{\_B}=40 componentes com média \bar{y}_{B}=505 horas.
Determine: a) Construa um intervalo de confiança bilateral de 95 \% para a diferença de médias \mu_{\_} A-\mu_{\_} B. b) Interprete o intervalo no contexto do problema (o que indica sobre a diferença entre as fábricas?). c) Se o intervalo contiver zero, qual seria a conclusão sobre a diferença de médias ao nível de confiança usado? E se não contiver zero?

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados das amostras (pegos do enunciado):
    • Variância conhecida da fábrica A: \sigma_{A}^{2}=225.
    • Variância conhecida da fábrica B: \sigma_{B}^{2}=144.
    • Tamanhos das amostras: n_{A}=50 e n_{B}=40.
    • Médias amostrais: \bar{x}_{A}=520 horas e \bar{y}_{B}=505 horas.
  • Nível de confiança: 95\%.
  • Perguntas:
    a) Construir intervalo de confiança bilateral de 95\% para \mu_{A}-\mu_{B}.
    b) Interpretar o intervalo no contexto (o que indica sobre a diferença entre as fábricas).
    c) Se o intervalo contiver zero, qual seria a conclusão sobre a diferença de médias ao nível de confiança usado? E se não contiver zero?

Passo 2

Escolha do método e fórmula a usar (explanação didática).
  • Como as variâncias populacionais \sigma_{A}^{2} e \sigma_{B}^{2} são conhecidas, o método padrão é usar o intervalo de confiança para a diferença de médias baseado na distribuição normal. Isso é a forma mais direta e simples.
  • Fórmula do intervalo bilateral de confiança de 100(1-\alpha)\% para \mu_{A}-\mu_{B} quando variâncias são conhecidas:
(\bar{x}_{A}-\bar{y}_{B}) \pm z_{1-\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\sigma_{A}^{2}}{n_{A}}+\frac{\sigma_{B}^{2}}{n_{B}}}.
  • Explicando cada símbolo:
    • \bar{x}_{A} e \bar{y}_{B} são as médias amostrais (já dadas).
    • \sigma_{A}^{2} e \sigma_{B}^{2} são as variâncias populacionais conhecidas.
    • n_{A} e n_{B} são os tamanhos das amostras.
    • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2. Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0,05 e z_{0,975}=1,96 (valor tabelado).
    • A expressão dentro da raiz é a variância da diferença das médias amostrais; somam-se porque as amostras são independentes.
  • Intuição rápida: a diferença amostral \bar{x}_{A}-\bar{y}_{B} é um estimador de \mu_{A}-\mu_{B} e a raiz da soma das variâncias ajustadas por n é a incerteza (erro padrão) nessa estimativa. Multiplicando pelo z obtemos a margem de erro.

Passo 3

Calcular passo a passo os componentes numéricos (fórmulas aplicadas aos números dados).
  • Primeiro obter os desvios padrão populacionais:
\sigma_{A}=\sqrt{\sigma_{A}^{2}}=\sqrt{225}=15, \qquad \sigma_{B}=\sqrt{\sigma_{B}^{2}}=\sqrt{144}=12.
  • Calcular o erro padrão da diferença das médias:
\mathrm{SE}=\sqrt{\frac{\sigma_{A}^{2}}{n_{A}}+\frac{\sigma_{B}^{2}}{n_{B}}} =\sqrt{\frac{225}{50}+\frac{144}{40}}.
Agora calcular os termos:
\frac{225}{50}=4,5,\qquad \frac{144}{40}=3,6.
Logo
\mathrm{SE}=\sqrt{4,5+3,6}=\sqrt{8,1}=2,846049\ldots
(para manipulação em prova pode-se usar \mathrm{SE}\approx 2,846).

Passo 4

Calcular a margem de erro usando z_{0,975}=1,96.
  • Margem de erro:
\text{ME}=z_{0,975}\cdot\mathrm{SE}=1,96\cdot 2,846049\ldots =5,577 \ldots
Arredondando de forma prática: \text{ME}\approx 5,58 horas.

Passo 5

Construir os limites do intervalo de confiança.
  • Diferença amostral:
\bar{x}_{A}-\bar{y}_{B}=520-505=15\\ \text{horas}.
  • Limite inferior:
15-5,577\ldots =9,4229\ldots \approx 9,42\\ \text{horas}.
  • Limite superior:
15+5,577\ldots =20,577\ldots \approx 20,58\\ \text{horas}.
  • Portanto o intervalo de confiança de 95\% é aproximadamente
\bigl[\,9,42\\ \text{horas},\\\ 20,58\\ \text{horas}\,\bigr].

Passo 6

Interpretação didática e no contexto do problema (parte b).
  • Interpretação do que um intervalo de confiança significa, em linguagem amigável: um intervalo de confiança de 95\% para \mu_{A}-\mu_{B} significa que, se repetíssemos esse processo de amostragem muitas vezes e construíssemos esses intervalos da mesma forma, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira diferença \mu_{A}-\mu_{B}.
  • No contexto: o intervalo encontrado indica que a média de vida útil dos componentes da fábrica A é estimada como sendo entre aproximadamente 9,42 e 20,58 horas a mais do que a média da fábrica B, com 95\% de confiança. Em palavras simples: os componentes da fábrica A parecem durar mais que os da fábrica B, por uma diferença na ordem de dezenas de horas.

Passo 7

Resposta à parte (c): interpretação do papel do zero no intervalo (regra prática para decisões).
  • Regra prática: se o intervalo de confiança para \mu_{A}-\mu_{B} contém 0, isso significa que a hipótese \mu_{A}=\mu_{B} é compatível com os dados ao nível de confiança usado; portanto não há evidência estatística suficiente, ao nível de 95\%, para afirmar que as médias são diferentes. Em termos de teste de hipótese, seria equivalente a não rejeitar a hipótese nula H_{0}:\mu_{A}-\mu_{B}=0 a nível de significância \alpha=0,05.
  • Se o intervalo não contém 0, como é o caso aqui (o intervalo é todo positivo), então temos evidência estatística de que \mu_{A}-\mu_{B} é diferente de zero; o sinal do intervalo (positivo) indica que \mu_{A}>\mu_{B}. Em termos práticos: com 95\% de confiança, a média da fábrica A é maior que a da fábrica B.

Passo 8

Observações finais rápidas e incentivo.
  • Conclusão prática: a diferença estimada é estatisticamente significativa e favorável à fábrica A.
  • Você já fez a parte mais chata: calcular o erro padrão e a margem. Em prova, memorize a fórmula do intervalo para variâncias conhecidas e o valor z_{0,975}=1,96 — isso já resolve muitos exercícios parecidos. Força aí, tá indo bem!

Resposta

a) \displaystyle [9,42\\ \text{horas},\\\ 20,58\\ \text{horas}]
b) O intervalo indica que, com 95\% de confiança, a média de vida útil dos componentes da fábrica A é entre 9,42 e 20,58 horas maior que a da fábrica B (ou seja, A parece produzir componentes que duram mais).
c) Se o intervalo contivesse zero: não haveria evidência estatística suficiente (ao nível de confiança usado) para afirmar diferença entre as médias; não se rejeitaria H_{0}:\mu_{A}=\mu_{B}. Se o intervalo não contiver zero (como aqui): há evidência de diferença; o sinal do intervalo indica qual média é maior (aqui \mu_{A}>\mu_{B}).

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