Questão 1 - Duas fábricas A e B produzem o mesmo tipo de componente eletrônico. Sabe-se, por controle de processo, que a variância da vida útil dos componentes das fábricas é conhecida e igual a
e
. Foram coletadas amostras independentes: da fábrica
componentes com média
horas; da fábrica
componentes com média
horas.
Determine: a) Construa um intervalo de confiança bilateral de
para a diferença de médias
. b) Interprete o intervalo no contexto do problema (o que indica sobre a diferença entre as fábricas?). c) Se o intervalo contiver zero, qual seria a conclusão sobre a diferença de médias ao nível de confiança usado? E se não contiver zero?
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados das amostras (pegos do enunciado):
- Variância conhecida da fábrica A:
. - Variância conhecida da fábrica B:
. - Tamanhos das amostras:
e . - Médias amostrais:
horas e horas.
- Variância conhecida da fábrica A:
- Nível de confiança:
. - Perguntas:
a) Construir intervalo de confiança bilateral depara .
b) Interpretar o intervalo no contexto (o que indica sobre a diferença entre as fábricas).
c) Se o intervalo contiver zero, qual seria a conclusão sobre a diferença de médias ao nível de confiança usado? E se não contiver zero?
Passo 2
Escolha do método e fórmula a usar (explanação didática).
- Como as variâncias populacionais
e são conhecidas, o método padrão é usar o intervalo de confiança para a diferença de médias baseado na distribuição normal. Isso é a forma mais direta e simples. - Fórmula do intervalo bilateral de confiança de
para quando variâncias são conhecidas:
- Explicando cada símbolo:
-
e são as médias amostrais (já dadas). -
e são as variâncias populacionais conhecidas. -
e são os tamanhos das amostras. -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é . Para nível de confiança temos e (valor tabelado). - A expressão dentro da raiz é a variância da diferença das médias amostrais; somam-se porque as amostras são independentes.
-
- Intuição rápida: a diferença amostral
é um estimador de e a raiz da soma das variâncias ajustadas por é a incerteza (erro padrão) nessa estimativa. Multiplicando pelo obtemos a margem de erro.
Passo 3
Calcular passo a passo os componentes numéricos (fórmulas aplicadas aos números dados).
- Primeiro obter os desvios padrão populacionais:
- Calcular o erro padrão da diferença das médias:
Agora calcular os termos:
Logo
(para manipulação em prova pode-se usar
).
Passo 4
Calcular a margem de erro usando
.
- Margem de erro:
Arredondando de forma prática:
horas.
Passo 5
Construir os limites do intervalo de confiança.
- Diferença amostral:
- Limite inferior:
- Limite superior:
- Portanto o intervalo de confiança de
é aproximadamente
Passo 6
Interpretação didática e no contexto do problema (parte b).
- Interpretação do que um intervalo de confiança significa, em linguagem amigável: um intervalo de confiança de
para significa que, se repetíssemos esse processo de amostragem muitas vezes e construíssemos esses intervalos da mesma forma, aproximadamente desses intervalos conteriam a verdadeira diferença . - No contexto: o intervalo encontrado indica que a média de vida útil dos componentes da fábrica A é estimada como sendo entre aproximadamente
e horas a mais do que a média da fábrica B, com de confiança. Em palavras simples: os componentes da fábrica A parecem durar mais que os da fábrica B, por uma diferença na ordem de dezenas de horas.
Passo 7
Resposta à parte (c): interpretação do papel do zero no intervalo (regra prática para decisões).
- Regra prática: se o intervalo de confiança para
contém , isso significa que a hipótese é compatível com os dados ao nível de confiança usado; portanto não há evidência estatística suficiente, ao nível de , para afirmar que as médias são diferentes. Em termos de teste de hipótese, seria equivalente a não rejeitar a hipótese nula a nível de significância . - Se o intervalo não contém
, como é o caso aqui (o intervalo é todo positivo), então temos evidência estatística de que é diferente de zero; o sinal do intervalo (positivo) indica que . Em termos práticos: com de confiança, a média da fábrica A é maior que a da fábrica B.
Passo 8
Observações finais rápidas e incentivo.
- Conclusão prática: a diferença estimada é estatisticamente significativa e favorável à fábrica A.
- Você já fez a parte mais chata: calcular o erro padrão e a margem. Em prova, memorize a fórmula do intervalo para variâncias conhecidas e o valor
— isso já resolve muitos exercícios parecidos. Força aí, tá indo bem!
Resposta
a)
b) O intervalo indica que, com de confiança, a média de vida útil dos componentes da fábrica A é entre
e
horas maior que a da fábrica B (ou seja, A parece produzir componentes que duram mais).
c) Se o intervalo contivesse zero: não haveria evidência estatística suficiente (ao nível de confiança usado) para afirmar diferença entre as médias; não se rejeitaria . Se o intervalo não contiver zero (como aqui): há evidência de diferença; o sinal do intervalo indica qual média é maior (aqui
).
b) O intervalo indica que, com
c) Se o intervalo contivesse zero: não haveria evidência estatística suficiente (ao nível de confiança usado) para afirmar diferença entre as médias; não se rejeitaria