Questão 6 - Duas técnicas de processamento (T1 e T2) são comparadas quanto ao tempo médio de execução (segundos). Supõe-se normalidade das populações, mas as variâncias são desconhecidas. Foram obtidas amostras independentes:
Amostra T1
: 8.1, 7.9, 8.5, 8.3, 7.8, 8.0, 8.2, 8.4, 7.7, 8.6, 8.0, 7.6, 8.3, 7.9, 8.1, 8.2, 7.8, 8.4, 7.5, 8.0
Amostra T2
,
Determine: a) Construa um intervalo de de
para
. b) o que ele indica sobre se T1 é mais rápida que T2?
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- O enunciado pede:
a) construir um intervalo de confiança depara .
b) interpretar se isso indica que a técnica T1 é mais rápida que a T2. - Dados (amostras independentes):
- Amostra T1:
e observações . - Amostra T2:
e observações .
- Amostra T1:
A resolução começa agora.
Passo 2
Escolha do método e fórmula a usar.
- As populações são normais e variâncias desconhecidas; as amostras são independentes e as variâncias amostrais aparentemente diferentes (
e vão diferir). O procedimento apropriado é o intervalo de confiança de Welch (também chamado de intervalo com variâncias desiguais). - Fórmula do intervalo de confiança de
para (Welch):
onde
é a média amostral,
a variância amostral,
o tamanho da amostra, e
é o grau de liberdade aproximado dado por (fórmula de Welch–Satterthwaite)
- Aqui queremos
de confiança, logo e . Precisaremos do .
Passo 3
Cálculo das médias amostrais
e
.
- Primeiro soma e média da amostra T1:
- Soma e média da amostra T2:
- A diferença amostral (estimador pontual de
) é
Passo 4
Cálculo das variâncias amostrais
e
(usando a fórmula de variância amostral com divisor
). Vou usar a forma computacional
- Para T1 obteve-se
então e .
(Interpretação: a dispersão dentro de T1 é pequena, desvio padrão cerca desegundos.) - Para T2 obteve-se
então e .
(Interpretação: T2 tem maior variabilidade nas medidas.)
Passo 5
Cálculo do erro padrão da diferença das médias.
- Primeiro a variância do estimador da diferença é
- Substituindo os valores:
- Soma e raiz:
Passo 6
Cálculo dos graus de liberdade aproximados
(Welch–Satterthwaite).
- Aplicando a fórmula:
- Avaliando numericamente obtém-se
- Para obter a constante
usamos com . A tabela de dá aproximadamente
Passo 7
Construção do intervalo de confiança de
.
- A margem de erro é
- Então o intervalo é
- Calculando extremos:
- Portanto o intervalo de
de confiança para é aproximadamente
Passo 8
Interpretação do intervalo (parte b).
- O intervalo de confiança para
é todo negativo (todos os valores possíveis no intervalo são menores que zero). Isso significa que, com de confiança, . Em palavras: a média do tempo de execução da técnica T1 é menor que a da T2. Logo T1 é mais rápida que T2 (diferença típica entre e segundos, em favor de T1).
Resposta
T1 é mais rápida que T2, pois o intervalo de confiança para