Questão 6 - Duas técnicas de processamento (T1 e T2) são comparadas quanto ao tempo médio de execução (segundos). Supõe-se normalidade das populações, mas as variâncias são desconhecidas. Foram obtidas amostras independentes:
Amostra T1 (\mathrm{n} 1=20) : 8.1, 7.9, 8.5, 8.3, 7.8, 8.0, 8.2, 8.4, 7.7, 8.6, 8.0, 7.6, 8.3, 7.9, 8.1, 8.2, 7.8, 8.4, 7.5, 8.0
Amostra T2 (\mathrm{n} 2=25): 9.0,8.7,9.2,9.1,8.8,9.3,8.9,9.4,8.6,9.5,8.5,9.6,8.4,9.7,8.3, 9.8,8.2,9.9,8.1,10.0,8.0,9.0,8.7,9.2,8.9
Determine: a) Construa um intervalo de de 90 \% para \mu_{1}-\mu_{2}. b) o que ele indica sobre se T1 é mais rápida que T2?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O enunciado pede:
    a) construir um intervalo de confiança de 90\% para \mu_{1}-\mu_{2}.
    b) interpretar se isso indica que a técnica T1 é mais rápida que a T2.
  • Dados (amostras independentes):
    • Amostra T1: n_1=20 e observações 8{,}1,\;7{,}9,\;8{,}5,\;8{,}3,\;7{,}8,\;8{,}0,\;8{,}2,\;8{,}4,\;7{,}7,\;8{,}6,\;8{,}0,\;7{,}6,\;8{,}3,\;7{,}9,\;8{,}1,\;8{,}2,\;7{,}8,\;8{,}4,\;7{,}5,\;8{,}0.
    • Amostra T2: n_2=25 e observações 9{,}0,\;8{,}7,\;9{,}2,\;9{,}1,\;8{,}8,\;9{,}3,\;8{,}9,\;9{,}4,\;8{,}6,\;9{,}5,\;8{,}5,\;9{,}6,\;8{,}4,\;9{,}7,\;8{,}3,\;9{,}8,\;8{,}2,\;9{,}9,\;8{,}1,\;10{,}0,\;8{,}0,\;9{,}0,\;8{,}7,\;9{,}2,\;8{,}9.
A resolução começa agora.

Passo 2

Escolha do método e fórmula a usar.
  • As populações são normais e variâncias desconhecidas; as amostras são independentes e as variâncias amostrais aparentemente diferentes ( s_1^2 e s_2^2 vão diferir). O procedimento apropriado é o intervalo de confiança de Welch (também chamado de intervalo com variâncias desiguais).
  • Fórmula do intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para \mu_1-\mu_2 (Welch):
\bar{x}_1-\bar{x}_2 \pm t_{\,\nu,\,1-\alpha/2}\,\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}},
onde \bar{x}_i é a média amostral, s_i^2 a variância amostral, n_i o tamanho da amostra, e \nu é o grau de liberdade aproximado dado por (fórmula de Welch–Satterthwaite)
\nu \approx \dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^{2}}{\dfrac{(s_1^2)^{2}}{n_1^{2}(n_1-1)}+\dfrac{(s_2^2)^{2}}{n_2^{2}(n_2-1)}}.
  • Aqui queremos 90\% de confiança, logo \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05. Precisaremos do t_{\,\nu,\,0{,}95}.

Passo 3

Cálculo das médias amostrais \bar{x}_1 e \bar{x}_2.
  • Primeiro soma e média da amostra T1: \sum x_{1}=161{,}3,\qquad \bar{x}_1=\dfrac{161{,}3}{20}=8{,}065.
  • Soma e média da amostra T2: \sum x_{2}=224{,}8,\qquad \bar{x}_2=\dfrac{224{,}8}{25}=8{,}992.
  • A diferença amostral (estimador pontual de \mu_1-\mu_2) é \bar{x}_1-\bar{x}_2=8{,}065-8{,}992=-0{,}927.

Passo 4

Cálculo das variâncias amostrais s_1^2 e s_2^2 (usando a fórmula de variância amostral com divisor n-1). Vou usar a forma computacional
s^2=\dfrac{\sum x^2 - n\bar{x}^2}{n-1}.
  • Para T1 obteve-se \sum x_{1}^2=1302{,}61,então s_1^2=\dfrac{1302{,}61-20\cdot(8{,}065)^2}{19}=0{,}090816\quad(\text{aprox.}),e s_1=\sqrt{s_1^2}\approx0{,}301.
    (Interpretação: a dispersão dentro de T1 é pequena, desvio padrão cerca de 0{,}30 segundos.)
  • Para T2 obteve-se \sum x_{2}^2=2029{,}24,então s_2^2=\dfrac{2029{,}24-25\cdot(8{,}992)^2}{24}=0{,}3266\quad(\text{aprox.}),e s_2\approx0{,}572.
    (Interpretação: T2 tem maior variabilidade nas medidas.)

Passo 5

Cálculo do erro padrão da diferença das médias.
  • Primeiro a variância do estimador da diferença é \operatorname{Var}(\bar{X}_1-\bar{X}_2)\approx\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}.
  • Substituindo os valores: \dfrac{s_1^2}{n_1}=\dfrac{0{,}090816}{20}=0{,}0045408, \qquad \dfrac{s_2^2}{n_2}=\dfrac{0{,}3266}{25}=0{,}013064.
  • Soma e raiz: \dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}=0{,}0176048, \qquad \text{erro padrão }SE=\sqrt{0{,}0176048}\approx0{,}13268.ã

Passo 6

Cálculo dos graus de liberdade aproximados \nu (Welch–Satterthwaite).
  • Aplicando a fórmula: \nu \approx \dfrac{(0{,}0176048)^{2}}{\dfrac{(0{,}090816)^{2}}{20^{2}\cdot 19}+\dfrac{(0{,}3266)^{2}}{25^{2}\cdot 24}}.
  • Avaliando numericamente obtém-se \nu \approx 37{,}7\quad(\text{aprox.}).
  • Para obter a constante t usamos t_{\,\nu,\,0{,}95} com \nu\approx38. A tabela de t dá aproximadamente t_{\,38,\,0{,}95}\approx1{,}687.

Passo 7

Construção do intervalo de confiança de 90\%.
  • A margem de erro é t_{\,\nu,\,0{,}95}\cdot SE \approx 1{,}687\cdot 0{,}13268 \approx 0{,}224.
  • Então o intervalo é \bar{x}_1-\bar{x}_2 \pm 0{,}224 = -0{,}927 \pm 0{,}224.
  • Calculando extremos: \text{limite inferior} = -0{,}927-0{,}224 = -1{,}151,
\text{limite superior} = -0{,}927+0{,}224 = -0{,}703.
  • Portanto o intervalo de 90\% de confiança para \mu_1-\mu_2 é aproximadamente \left(-1{,}151,\,-0{,}703\right).

Passo 8

Interpretação do intervalo (parte b).
  • O intervalo de confiança para \mu_1-\mu_2 é todo negativo (todos os valores possíveis no intervalo são menores que zero). Isso significa que, com 90\% de confiança, \mu_1<\mu_2. Em palavras: a média do tempo de execução da técnica T1 é menor que a da T2. Logo T1 é mais rápida que T2 (diferença típica entre 0{,}703 e 1{,}151 segundos, em favor de T1).

Resposta

(-1{,}151,\,-0{,}703)
T1 é mais rápida que T2, pois o intervalo de confiança para \mu_1-\mu_2 é todo negativo ( \mu_1<\mu_2).

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