Questão 1: Dois recipientes são construídos de forma que o lado de dentro do recipiente A correspondente à revolução, ao redor do eixo dos y, do gráfico da função y=x^{4}, e o lado de dentro do recipiente B dado pela revolução, ao redor do eixo dos y, do gráfico da função y=2 x (para x \geq 0 ), sendo as unidades dadas em metros. Se o recipiente A tem água até a altura de 1 m, qual deverá ser a altura de água no recipiente B , em metros, para que este contenha o mesmo volume de água?

Passo 1

O enunciado diz que o recipiente A é obtido por revolução, ao redor do eixo y, da curva
y = x^4,
e o recipiente B por revolução da curva
y = 2x,\quad x\ge0.
Queremos que o volume de água em A até a altura 1 m seja igual ao volume de água em B até uma altura h. Para isso, vamos usar o método das “fatias” (discos) em relação a y:
– A área de cada disco perpendicular a y é \pi [\text{raio}(y)]^2.
– Integramos de y=0 até a altura de água.

Passo 2

Volume de água em A até y=1. Da curva y=x^4 temos x = y^{1/4}, logo o raio do disco em nível y é r_A(y)=y^{1/4}.
V_A = \int_{0}^{1} \pi\bigl(r_A(y)\bigr)^2\,dy = \int_{0}^{1} \pi\,y^{1/2}\,dy.
Calculemos:
\int_{0}^{1} y^{1/2}\,dy = \left[\frac{y^{3/2}}{\tfrac{3}{2}}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}\,,
então
V_A = \pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\pi}{3}.

Passo 3

Volume de água em B até y=h. Da curva y=2x temos x = \tfrac{y}{2}, então o raio em nível y é r_B(y)=\tfrac{y}{2}.
V_B(h) = \int_{0}^{h} \pi\bigl(r_B(y)\bigr)^2\,dy = \int_{0}^{h} \pi\,\frac{y^2}{4}\,dy = \frac{\pi}{4} \int_{0}^{h} y^2\,dy.
Como
\int_{0}^{h} y^2\,dy = \frac{h^3}{3},
temos
V_B(h) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{\pi\,h^3}{12}.

Passo 4

Igualamos os volumes V_A = V_B(h):
\frac{2\pi}{3} = \frac{\pi\,h^3}{12}.
Cancelamos \pi e resolvemos:
\frac{2}{3} = \frac{h^3}{12} \quad\Longrightarrow\quad h^3 = 12\cdot\frac{2}{3} = 8 \quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt[\,3]{8} = 2.

Resposta

A altura de água em B deve ser 2 metros.

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