Questão 2: Dois recipientes são construídos de forma que o lado de dentro do recipiente A correspondente à revolução, ao redor do eixo dos y, do gráfico da função y=x^{4}, e o lado de dentro do recipiente B dado pela revolução, ao redor do eixo dos y, do gráfico da função y=2 x (para x \geq 0 ), sendo as unidades dadas em metros. Se ambos os recipientes contêm água até uma mesma altura h, qual deverá ser essa altura para que ambos os recipientes contenham igual volume de água?

Passo 1

O enunciado nos dá dois recipientes formados por revolução em torno do eixo y:
— Recipiente A gerado por y = x^{4} para x\ge0.
— Recipiente B gerado por y = 2x para x\ge0.
Ambos estão cheios até uma mesma altura h. O conteúdo é volume de revolução: usaremos o método dos discos (seções transversais em nível y) para escrever cada volume em função de h e depois igualá-los.

Passo 2

Para o recipiente A, em cada y o raio do disco é dado por x, tal que y = x^{4}, logo
x = y^{1/4}.
O volume V_A(h) é
V_{A}(h) = \int_{y=0}^{h} \pi\bigl(\text{raio}\bigr)^{2}\,dy = \pi \int_{0}^{h} \bigl(y^{1/4}\bigr)^{2} dy = \pi \int_{0}^{h} y^{1/2} dy = \pi \Bigl[\tfrac{2}{3}y^{3/2}\Bigr]_{0}^{h} = \tfrac{2\pi}{3}\,h^{3/2}.

Passo 3

Para o recipiente B, em cada y o raio do disco vem de y = 2x, ou seja,
x = \tfrac{y}{2}.
O volume V_B(h) é
V_{B}(h) = \int_{0}^{h} \pi\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)^{2} dy = \pi \int_{0}^{h} \tfrac{y^{2}}{4}\,dy = \tfrac{\pi}{4} \int_{0}^{h} y^{2} dy = \tfrac{\pi}{4}\Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{h} = \tfrac{\pi}{12}\,h^{3}.

Passo 4

Igualamos V_{A}(h) e V_{B}(h):
\tfrac{2\pi}{3}\,h^{3/2} \;=\;\tfrac{\pi}{12}\,h^{3}.
Cancelamos \pi e multiplicamos ambos os lados por 12:
8\,h^{3/2} = h^{3}.
Para h>0, divide-se por h^{3/2}, obtendo-se
h^{3/2} = 8 \quad\Longrightarrow\quad h = 8^{2/3} = 4.

Resposta

A altura requerida é h = 4 metros.

Exercícios relacionados