Questão 2) Duas ondas em uma corda, ao se propagarem em sentidos opostos possuem as seguintes funções:
\begin{aligned} & y_{1}(x, t)=2 \cos (2 \pi \cdot t-5 \pi \cdot x) \\\ & y_{2}(x, t)=2 \cos (2 \pi \cdot t+5 \pi \cdot x) \end{aligned}
(a) Calcule, usando o princípio da superposição, a onda resultante da interferência dessas ondas representadas por y 1 e y2

Passo 1

O enunciado nos dá duas ondas viajantes em sentidos opostos na mesma corda, com
y_{1}(x,t)=2\cos(2\pi t-5\pi x)
e
y_{2}(x,t)=2\cos(2\pi t+5\pi x).
O conteúdo é superposição de ondas e interferência; para resolver, vamos somar as funções e usar a identidade de soma de cossenos.

Passo 2

Aplicando o princípio da superposição, a onda resultante é
y(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t) =2\cos(2\pi t-5\pi x)+2\cos(2\pi t+5\pi x).

Passo 3

Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica
\cos A + \cos B = 2\,\cos\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\,\cos\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr),
onde tomamos
A = 2\pi t - 5\pi x, \quad B = 2\pi t + 5\pi x.

Passo 4

Calculamos
\tfrac{A+B}{2} = \tfrac{(2\pi t-5\pi x)+(2\pi t+5\pi x)}{2} = 2\pi t,
\tfrac{A-B}{2} = \tfrac{(2\pi t-5\pi x)-(2\pi t+5\pi x)}{2} = -5\pi x.
Como \cos(-5\pi x)=\cos(5\pi x), substituímos na soma e obtemos
y(x,t)=2\cdot2\,\cos(2\pi t)\cos(5\pi x) =4\cos(2\pi t)\cos(5\pi x).

Passo 5

Portanto, a interferência das duas ondas gera uma onda estacionária cuja amplitude varia com x como \cos(5\pi x) e oscila em t como \cos(2\pi t).

Resposta

y(x,t)=4\cos(2\pi t)\cos(5\pi x).

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