Questão 1. Verifique se as retas abaixo são concorrentes e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção: r_{1}: \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4} e r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=-1+t \\\ y=4-t \\\ z=-8+3 t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right..
têm ponto em comum (isto é, são concorrentes). O conteúdo que vamos usar é representação paramétrica de reta e solução de sistemas para confirmar se elas se intersectam.
Passo 2
Escrevendo r_{1} em forma paramétrica, seja
\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4}=s.
Então
x=2+3s,\quad y=-1-3s,\quad z=2+4s.
Para r_{2} já temos
x=-1+t,\quad y=4-t,\quad z=-8+3t.
Passo 3
Se existisse ponto de interseção, haveria (s,t)\) tal que
\[\begin{cases} 2+3s = -1 + t,\\\\ -1 -3s = 4 - t,\\\\ 2 +4s = -8 +3t. \end{cases}
Das duas primeiras equações obtemos
t = 3s+3 \quad\text{e}\quad t = 3s+5,
o que é impossível pois 3s+3\neq3s+5\] para todo \(s. Logo o sistema é inconsistente.
Passo 4
Como não há solução comum para s e t, as retas não se intersectam e, portanto, não são concorrentes.
Resposta
As retas não são concorrentes; não existe ponto de interseção.