Questão 1. Verifique se as retas abaixo são concorrentes e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção:
r_{1}: \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4} e r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=-1+t \\\ y=4-t \\\ z=-8+3 t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right..

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as retas
r_{1}: \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4}
e
r_{2}:\begin{cases} x=-1+t\\\ y=4-t\\\ z=-8+3t \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}
têm ponto em comum (isto é, são concorrentes). O conteúdo que vamos usar é representação paramétrica de reta e solução de sistemas para confirmar se elas se intersectam.

Passo 2

Escrevendo r_{1} em forma paramétrica, seja
\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4}=s.
Então
x=2+3s,\quad y=-1-3s,\quad z=2+4s.
Para r_{2} já temos
x=-1+t,\quad y=4-t,\quad z=-8+3t.

Passo 3

Se existisse ponto de interseção, haveria (s,t)\) tal que \[\begin{cases} 2+3s = -1 + t,\\\\ -1 -3s = 4 - t,\\\\ 2 +4s = -8 +3t. \end{cases}
Das duas primeiras equações obtemos
t = 3s+3 \quad\text{e}\quad t = 3s+5,
o que é impossível pois 3s+3\neq3s+5\] para todo \(s. Logo o sistema é inconsistente.

Passo 4

Como não há solução comum para s e t, as retas não se intersectam e, portanto, não são concorrentes.

Resposta

As retas não são concorrentes; não existe ponto de interseção.

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