Questão 5

Duas pequenas esferas idênticas de massa m=10 g estão suspensas por fios isolantes de comprimento L=50 cm, presos ao mesmo ponto. Quando as esferas recebem cargas iguais q, elas se repelem e atingem uma posição de equilíbrio com os fios formando um ângulo theta=10 com a vertical.
(a) Faça um diagrama de forças para uma das esferas.
(b) Determine o valor da carga q em cada esfera.

Passo 1

Beleza, primeiro vamos recapitular o que o enunciado pede e que matéria estamos usando.
Enunciado (resumido): temos duas esferas idênticas de massa penduradas por fios de comprimento . Cada esfera recebe carga igual e, por se repelirem, ficam em equilíbrio com o fio formando em relação à vertical.
Matéria: equilíbrio de forças (1ª Lei de Newton) + Lei de Coulomb (força elétrica).
O que vamos precisar:
  1. Desenhar o diagrama de forças em uma esfera.
  2. Decompor as forças em componentes vertical e horizontal.
  3. Usar Lei de Coulomb .
  4. Geometria pra achar a distância entre as esferas.

Passo 2

Diagrama de forças (em uma das esferas):
  • Peso para baixo: .
  • Tensão do fio ao longo do fio, magnitude , direção fazendo com a vertical.
  • Força elétrica de repulsão horizontal, , apontando para o lado (empurrando cada esfera pra longe da outra).

Passo 3

Equilíbrio em cada direção (soma das forças = 0):
  1. Direção vertical (eixo ):

    .
  2. Direção horizontal (eixo ):

    .

Passo 4

A gente precisa de x = Lsintheta, , a distância entre as duas esferas.
Cada fio tem comprimento d = 2x = 2Lsintheta e faz com a vertical, então a projeção horizontal de cada fio é
e como são duas, a distância total

Passo 5

Agora a Lei de Coulomb diz
Fe = k,q^2d^2, k = 8,99times10^9;Ncdot m^2/C^2

Passo 6

Vamos juntar tudo:
  • Do vertical: mg,tantheta ;=; k,q^2d^2 ;Longrightarrow; q^2 = mg,d^2,tanthetak .
  • Do horizontal:
Igualando com Coulomb:

Passo 7

Substituindo valores (em unidades SI):
m = 0,01;kg, g = 9,8;m/s^2, L = 0,50;m, theta = 10^circ
Calculamos
d = 2Lsintheta = 2cdot0,50cdotsin(10^circ)approx0,17365;m,
q^2 = 0,01cdot9,8cdot(0,17365)^2cdottan(10^circ)8,99times10^9 approx5,8times10^-14;C^2,
q = raiz5,8times10^-14;Capprox2,4times10^-7;C

Resposta

A carga em cada esfera é
boxedq approx 2,4times10^-7;C

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