Questão 4. Duas substâncias químicas, A e B, são combinadas para formar uma substância química C. A taxa ou velocidade de reação é proporcional ao produto da quantidade instantânea de A e B não convertida na substância C. Inicialmente, há 40 g de A e 50 g de B, e para cada grama de B são usados 2 g de A. É observado que em 5 minutos são formados 10 g de C. Deduza a equação diferencial que governa este processo e calcule a quantidade limite de C após um longo tempo? Quanto resta das quantidades de A e B após um longo período.

Passo 1

O enunciado trata de cinética química onde duas substâncias A e B reagem segundo a estequiometria “ 2 g de A +1 g de B to forma C”, e a velocidade de formação de C é proporcional ao produto das massas instantâneas de A e B ainda não reagidas. Inicialmente há 40 g de A e 50 g de B, e observa-se que em 5 min formam-se 10 g de C. Vamos então deduzir a equação diferencial que descreve o processo e calcular as quantidades de C, A e B no regime estacionário (tempo muito longo).

Passo 2

Denotemos por x(t) a massa de C formada no instante t.
Pela estequiometria, cada grama de C consome 2 g de A e 1 g de B. Assim as massas instantâneas de não-convertidos são
A(t)=40-2x(t),
B(t)=50-x(t)
Como a velocidade de reação é proporcional a A(t),B(t), escrevemos
dxdt=k,A(t),B(t)
e, substituindo A(t) e B(t), obtemos a equação diferencial separável
dxdt=k,(40-2x),(50-x)

Passo 3

Separamos variáveis e integramos:
integraldx(40-2x)(50-x) = kintegral dt
Fazendo frações parciais,
1(40-2x)(50-x) =1/3040-2x-1/6050-x,
logo
integrall(1/3040-2x-1/6050-xr)dx =kt+C
Isso leva a
ln50-x40-2x=60,k,t+C1
No instante inicial t=0, x(0)=0, daí C1=ln5040=ln54. Logo
ln50-x40-2x =60,k,t+ln54

Passo 4

Usando a condição experimental x(5)=10, temos
ln50-1040-2cdot10 =ln4020= ln2 =60,kcdot5+ln54
ln2-ln54 =ln25/4 =ln85 =300,k Longrightarrow k=1300ln85

Passo 5

Para ttoinfty, o termo e^60kt domina e obriga o denominador do logaritmo a tender a zero, i.e.\ 40-2xto0. Logo
x(infty)=20 g
Daí a massa de A remanescente é
A(infty)=40-2cdot20=0 g,
e de B é
B(infty)=50-20=30 g

Resposta

Equação diferencial:
dxdt=k,(40-2x)(50-x), k=1300ln85
Quantidade de C a longo prazo: 20 g; de A: 0 g; de B: 30 g.

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