Questão 4. Duas substâncias químicas,
e
, são combinadas para formar uma substância química
. A taxa ou velocidade de reação é proporcional ao produto da quantidade instantânea de
e
não convertida na substância
. Inicialmente, há 40 g de
e 50 g de
, e para cada grama de
são usados 2 g de
. É observado que em 5 minutos são formados 10 g de
. Deduza a equação diferencial que governa este processo e calcule a quantidade limite de
após um longo tempo? Quanto resta das quantidades de
e
após um longo período.
Passo 1
O enunciado trata de cinética química onde duas substâncias
e
reagem segundo a estequiometria “
g de
g de
forma
”, e a velocidade de formação de
é proporcional ao produto das massas instantâneas de
e
ainda não reagidas. Inicialmente há
g de
e
g de
, e observa-se que em
min formam-se
g de
. Vamos então deduzir a equação diferencial que descreve o processo e calcular as quantidades de
,
e
no regime estacionário (tempo muito longo).
Passo 2
Denotemos por
a massa de
formada no instante
.
Pela estequiometria, cada grama de consome
g de
e
g de
. Assim as massas instantâneas de não-convertidos são
Pela estequiometria, cada grama de
Como a velocidade de reação é proporcional a
, escrevemos
e, substituindo
e
, obtemos a equação diferencial separável
Passo 3
Separamos variáveis e integramos:
Fazendo frações parciais,
logo
Isso leva a
No instante inicial
,
, daí
. Logo
Passo 4
Usando a condição experimental
, temos
Passo 5
Para
, o termo
domina e obriga o denominador do logaritmo a tender a zero, i.e.\
. Logo
Daí a massa de
remanescente é
e de
é
Resposta
Equação diferencial:
Quantidade de
a longo prazo:
g; de
:
g; de
:
g.