Questão 1: Um duto metálico ( \mathrm{k}=14 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) ) com diâmetro interno de 0,25 \mathrm{~m} e espessura de parede 25 mm e com isolamento térmico externo de poliuretano expandido ( \mathrm{k}_{\mathrm{i}}=0,065 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C}\right) ) de 10 mm de espessura, é usado para conduzir ar refrigerado a uma vazão de 6 \mathrm{~kg} / \mathrm{min} através do sótão de um grande prédio comercial. O ar no sótão encontra-se a 38^{\circ} \mathrm{C}, com um coeficiente de transferência de calor combinado por convecção e radiação de 20 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right) na superfície externa do conjunto. Considere que o ar refrigerado entra a uma temperatura de 16^{\circ} \mathrm{C} no duto, que possui 25 m de comprimento.
a) Desenhe o circuito térmico que representa a situação de transferência de calor em regime estacionário. Identifique todas resistências térmicas, nós de temperatura e sentido da taxa de transferência de calor.
b) O valor do coeficiente convectivo interno associado ao escoamento do ar através de uma correlação empírica disponível na Literatura.
c) Calcule a temperatura do ar na saída do duto.
Pedidos:
a) Desenhar (descrever) o circuito térmico em regime estacionário: identificar resistências térmicas, nós de temperatura e sentido da taxa de calor.
b) Calcular o coeficiente convectivo interno h_i para o escoamento do ar usando uma correlação empírica da literatura.
c) Calcular a temperatura do ar na saída do duto.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado e da tabela):
Condutividade do metal do duto: k_{\text{m}}=14\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
Diâmetro interno do duto: D_i=0,25\\ \mathrm{m}\Rightarrow raio interno r_i=0,125\\ \mathrm{m}.
Espessura da parede metálica: t_{\text{m}}=25\\ \mathrm{mm}=0,025\\ \mathrm{m}\Rightarrow raio externo do metal r_{m,o}=r_i+t_{\text{m}}=0,150\\ \mathrm{m}.
Isolamento externo (poliuretano): espessura t_{\text{ins}}=10\\ \mathrm{mm}=0,010\\ \mathrm{m}, condutividade k_{\text{ins}}=0,065\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot^{\circ}\mathrm{C}). Logo raio externo total r_o=r_{m,o}+t_{\text{ins}}=0,160\\ \mathrm{m}.
Ar no sótão (ambiente): T_{\infty}=38\,^{\circ}\mathrm{C}.
Ar refrigerado entra com T_{\text{in}}=16\,^{\circ}\mathrm{C} e vazão mássica \dot{m}=6\\ \mathrm{kg/min}=0,1\\ \mathrm{kg/s}.
Comprimento do duto: L=25\\ \mathrm{m}.
Propriedades do ar: escolhi as propriedades avaliadas em uma temperatura de filme aproximadamente T_f\approx(16+38)/2\approx27\,^{\circ}\mathrm{C}\Rightarrow uso os valores na tabela em 300\\ \mathrm{K}: \rho=1,1614\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, c_p=1,007\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})=1007\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}), \nu=15{,}89\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, k_{\text{air}}=0{,}0263\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}), \mathrm{Pr}=0{,}707.
Observação: a resolução começa efetivamente no Passo 2.
Passo 2
Cálculo do coeficiente convectivo interno h_i (explicando a teoria e os passos).
Conceitos básicos (rápido tutorial):
Número de Reynolds \mathrm{Re}=\dfrac{V D}{\nu} mede se o fluxo é laminar ou turbulento. Aqui V é velocidade média, D o diâmetro e \nu a viscosidade cinemática.
Número de Prandtl \mathrm{Pr}=\dfrac{\nu}{\alpha} é dado na tabela; relaciona difusão de momento com difusão térmica.
Número de Nusselt \mathrm{Nu}=\dfrac{h D}{k} relaciona transferência convectiva à condutiva. Para escoamento interno turbulento em tubos suaves usa-se frequentemente a correlação de Dittus–Boelter\mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{n},onde n=0{,}4 quando o fluido é aquecido (temperatura do fluido aumenta ao longo do comprimento), e n=0{,}3 quando resfria. No nosso caso o ar é aquecido pelo ambiente (entra frio e sai mais quente), então usamos n=0{,}4.
Depois, h=\dfrac{\mathrm{Nu}\,k}{D}.
Cálculo passo a passo:
Área da seção transversal do duto:A=\frac{\pi D_i^2}{4}=\frac{\pi(0{,}25)^2}{4}=0{,}04909\\ \mathrm{m}^2.
Velocidade média do ar no interior:V=\frac{\dot{m}}{\rho A}=\frac{0{,}1}{1{,}1614\cdot0{,}04909}\approx1{,}754\\ \mathrm{m/s}.(Explicação: massa por segundo dividido por massa por volume por área dá velocidade.)
Número de Reynolds:\mathrm{Re}=\frac{V D_i}{\nu}=\frac{1{,}754\cdot0{,}25}{15{,}89\times10^{-6}}\approx2{,}76\times10^{4}.Como \mathrm{Re}\gg4000, o escoamento é turbulento; é adequado usar Dittus–Boelter.
Número de Nusselt pela correlação de Dittus–Boelter (com n=0{,}4):\mathrm{Nu}=0{,}023\;\mathrm{Re}^{0{,}8}\;\mathrm{Pr}^{0{,}4}.Substituindo:\mathrm{Re}^{0{,}8}\approx(2{,}758\times10^{4})^{0{,}8}\approx3{,}573\times10^{3}, \qquad \mathrm{Pr}^{0{,}4}\approx0{,}707^{0{,}4}\approx0{,}871.Assim\mathrm{Nu}\approx0{,}023\cdot3{,}573\times10^{3}\cdot0{,}871\approx71{,}57.
Comentário prático: o valor de h_i é relativamente baixo porque o ar tem baixa condutividade térmica e a velocidade não é muito alta; aumentos significativos de \dot{m} aumentariam h_i.
Passo 3
Montagem do circuito térmico (fórmulas das resistências) e cálculo numérico das resistências por unidade de comprimento.
Modelo do circuito (descrição): em série, do ambiente para o volume de ar interno:
Resistência convectiva externa R'_o entre T_{\infty} e a superfície externa do isolamento.
Resistência por condução radial do isolamento R'_{\text{ins}} entre a superfície externa do isolamento e a superfície externa do metal.
Resistência por condução radial da parede metálica R'_{\text{m}} entre superfície externa do metal e superfície interna do metal.
Resistência convectiva interna R'_i entre a superfície interna do metal e a temperatura média do ar em escoamento T(x).
O sentido da taxa de transferência de calor é do ambiente quente para o ar frio (de T_{\infty}=38\,^{\circ}\mathrm{C} para T interno), ou seja, o ar ganha calor e sua temperatura aumenta ao longo do duto.
Expressões (por unidade de comprimento, 1\\ \mathrm{m}):
Observação de interpretação: R' foi calculada por unidade de comprimento (resistência entre ambiente e massa de ar por metro de tubo). Assim a taxa de calor por unidade de comprimento para uma diferença térmica \Delta T é q' = U' \Delta T em \mathrm{W}/\mathrm{m}.
Passo 4
Equação de balanço energético diferencial ao longo do duto (e sua solução).
Modelo físico e equações:
Considere a temperatura média do ar ao longo do duto T(x), onde x é a coordenada ao longo do eixo do duto (x=0 entrada, x=L saída).
Para um trecho de comprimento dx, a potência de calor absorvida pelo ar por unidade de comprimento éq'(x)=U'\bigl(T_{\infty}-T(x)\bigr)\quad\bigl[\mathrm{W}/\mathrm{m}\bigr].(Explicação: diferença de temperatura entre ambiente e ar multiplicada pela condutância por metro.)
Energia adicionada ao ar no trecho dx é q'(x)\,dx. O aumento de energia do fluxo mássico é \dot{m} c_p\,dT.
Assim o balanço energético por unidade de tempo:\dot{m} c_p \,\frac{dT}{dx}=q'(x)=U'\bigl(T_{\infty}-T(x)\bigr).
É uma ODE linear: \dfrac{dT}{dx}=\dfrac{U'}{\dot{m}c_p}\bigl(T_{\infty}-T\bigr). Defina a=\dfrac{U'}{\dot{m}c_p}.
Interpretação: o ar entra a 16\,^{\circ}\mathrm{C} e, ao percorrer 25\\ \mathrm{m} do duto com o isolamento descrito, aquece até aproximadamente 26{,}6\,^{\circ}\mathrm{C}. Se desejarmos reduzir esse aquecimento deveríamos aumentar a espessura do isolamento, diminuir h_o (p.ex. cobrindo o duto), aumentar a vazão mássica \dot{m} (o que aumenta o transporte de energia) ou reduzir trocas térmicas externas.
Resposta
a) Circuito térmico (em série, sentido do calor do ambiente quente para o ar frio): T_{\infty}=38\,^{\circ}\mathrm{C}\xrightarrow{\;R'_o=\dfrac{1}{h_o\,2\pi r_o}\;} superfície externa do isolamento \xrightarrow{\;R'_{\text{ins}}=\dfrac{\ln(r_o/r_{m,o})}{2\pi k_{\text{ins}}}\;} superfície externa do metal \xrightarrow{\;R'_{\text{m}}=\dfrac{\ln(r_{m,o}/r_i)}{2\pi k_{\text{m}}}\;} superfície interna do metal \xrightarrow{\;R'_i=\dfrac{1}{h_i\,2\pi r_i}\;} ar em escoamento T(x).
b) Coeficiente convectivo interno calculado (Dittus–Boelter, \mathrm{Re}\approx2{,}76\times10^{4}, \mathrm{Pr}=0{,}707): h_i\approx7{,}53\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
c) Temperatura de saída do ar ao final de L=25\\ \mathrm{m}: T_{\text{out}}=T(L)\approx26{,}58\,^{\circ}\mathrm{C}.