Questão 1: Um duto metálico ( \mathrm{k}=14 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) ) com diâmetro interno de 0,25 \mathrm{~m} e espessura de parede 25 mm e com isolamento térmico externo de poliuretano expandido ( \mathrm{k}_{\mathrm{i}}=0,065 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C}\right) ) de 10 mm de espessura, é usado para conduzir ar refrigerado a uma vazão de 6 \mathrm{~kg} / \mathrm{min} através do sótão de um grande prédio comercial. O ar no sótão encontra-se a 38^{\circ} \mathrm{C}, com um coeficiente de transferência de calor combinado por convecção e radiação de 20 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right) na superfície externa do conjunto. Considere que o ar refrigerado entra a uma temperatura de 16^{\circ} \mathrm{C} no duto, que possui 25 m de comprimento.
a) Desenhe o circuito térmico que representa a situação de transferência de calor em regime estacionário. Identifique todas resistências térmicas, nós de temperatura e sentido da taxa de transferência de calor.
b) O valor do coeficiente convectivo interno associado ao escoamento do ar através de uma correlação empírica disponível na Literatura.
c) Calcule a temperatura do ar na saída do duto.
T (K) \rho ( \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ) \mathrm{c}_{\mathrm{p}} ( \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ) \mu \cdot 10^{7} ( \mathrm{N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ) \nu \cdot 10^{6} ( \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s} ) \mathrm{k} \cdot 10^{3} ( \mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) \alpha \cdot 10^{6} ( \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s} ) Pr
250 1,3947 1,006 159,6 11,44 22,3 15,9 0,720
300 1,1614 1,007 184,6 15,89 26,3 22,5 0,707
350 0,9950 1,009 208,2 20,92 30,0 29,9 0,700
400 0,8711 1,014 230,1 26,41 33,8 38,3 0,690
450 0,7740 1,021 250,7 32,39 37,3 47,2 0,686
500 0,6964 1,030 270,1 38,79 40,7 56,7 0,684
550 0,6329 1,040 288,4 45,57 43,9 66,7 0,683
600 0,5804 1,051 305,8 52,69 46,9 76,9 0,685

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedidos:
    a) Desenhar (descrever) o circuito térmico em regime estacionário: identificar resistências térmicas, nós de temperatura e sentido da taxa de calor.
    b) Calcular o coeficiente convectivo interno h_i para o escoamento do ar usando uma correlação empírica da literatura.
    c) Calcular a temperatura do ar na saída do duto.
  • Dados fornecidos (peguei todos do enunciado e da tabela):
    • Condutividade do metal do duto: k_{\text{m}}=14\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
    • Diâmetro interno do duto: D_i=0,25\\ \mathrm{m} \Rightarrow raio interno r_i=0,125\\ \mathrm{m}.
    • Espessura da parede metálica: t_{\text{m}}=25\\ \mathrm{mm}=0,025\\ \mathrm{m} \Rightarrow raio externo do metal r_{m,o}=r_i+t_{\text{m}}=0,150\\ \mathrm{m}.
    • Isolamento externo (poliuretano): espessura t_{\text{ins}}=10\\ \mathrm{mm}=0,010\\ \mathrm{m}, condutividade k_{\text{ins}}=0,065\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot^{\circ}\mathrm{C}). Logo raio externo total r_o=r_{m,o}+t_{\text{ins}}=0,160\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente combinado convecção+radiação externo: h_o=20\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
    • Ar no sótão (ambiente): T_{\infty}=38\,^{\circ}\mathrm{C}.
    • Ar refrigerado entra com T_{\text{in}}=16\,^{\circ}\mathrm{C} e vazão mássica \dot{m}=6\\ \mathrm{kg/min}=0,1\\ \mathrm{kg/s}.
    • Comprimento do duto: L=25\\ \mathrm{m}.
    • Propriedades do ar: escolhi as propriedades avaliadas em uma temperatura de filme aproximadamente T_f\approx(16+38)/2\approx27\,^{\circ}\mathrm{C}\Rightarrow uso os valores na tabela em 300\\ \mathrm{K}:
      \rho=1,1614\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, c_p=1,007\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})=1007\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}), \nu=15{,}89\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, k_{\text{air}}=0{,}0263\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}), \mathrm{Pr}=0{,}707.
Observação: a resolução começa efetivamente no Passo 2.

Passo 2

Cálculo do coeficiente convectivo interno h_i (explicando a teoria e os passos).
  • Conceitos básicos (rápido tutorial):
    • Número de Reynolds \mathrm{Re}=\dfrac{V D}{\nu} mede se o fluxo é laminar ou turbulento. Aqui V é velocidade média, D o diâmetro e \nu a viscosidade cinemática.
    • Número de Prandtl \mathrm{Pr}=\dfrac{\nu}{\alpha} é dado na tabela; relaciona difusão de momento com difusão térmica.
    • Número de Nusselt \mathrm{Nu}=\dfrac{h D}{k} relaciona transferência convectiva à condutiva. Para escoamento interno turbulento em tubos suaves usa-se frequentemente a correlação de Dittus–Boelter \mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{n},onde n=0{,}4 quando o fluido é aquecido (temperatura do fluido aumenta ao longo do comprimento), e n=0{,}3 quando resfria. No nosso caso o ar é aquecido pelo ambiente (entra frio e sai mais quente), então usamos n=0{,}4.
    • Depois, h=\dfrac{\mathrm{Nu}\,k}{D}.
  • Cálculo passo a passo:
    1. Área da seção transversal do duto: A=\frac{\pi D_i^2}{4}=\frac{\pi(0{,}25)^2}{4}=0{,}04909\\ \mathrm{m}^2.
    2. Velocidade média do ar no interior: V=\frac{\dot{m}}{\rho A}=\frac{0{,}1}{1{,}1614\cdot0{,}04909}\approx1{,}754\\ \mathrm{m/s}.(Explicação: massa por segundo dividido por massa por volume por área dá velocidade.)
    3. Número de Reynolds: \mathrm{Re}=\frac{V D_i}{\nu}=\frac{1{,}754\cdot0{,}25}{15{,}89\times10^{-6}}\approx2{,}76\times10^{4}.Como \mathrm{Re}\gg4000, o escoamento é turbulento; é adequado usar Dittus–Boelter.
    4. Número de Nusselt pela correlação de Dittus–Boelter (com n=0{,}4): \mathrm{Nu}=0{,}023\;\mathrm{Re}^{0{,}8}\;\mathrm{Pr}^{0{,}4}.Substituindo: \mathrm{Re}^{0{,}8}\approx(2{,}758\times10^{4})^{0{,}8}\approx3{,}573\times10^{3}, \qquad \mathrm{Pr}^{0{,}4}\approx0{,}707^{0{,}4}\approx0{,}871.Assim \mathrm{Nu}\approx0{,}023\cdot3{,}573\times10^{3}\cdot0{,}871\approx71{,}57.
    5. Coeficiente convectivo interno: h_i=\frac{\mathrm{Nu}\,k_{\text{air}}}{D_i}=\frac{71{,}57\cdot0{,}0263}{0{,}25}\approx7{,}53\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
Comentário prático: o valor de h_i é relativamente baixo porque o ar tem baixa condutividade térmica e a velocidade não é muito alta; aumentos significativos de \dot{m} aumentariam h_i.

Passo 3

Montagem do circuito térmico (fórmulas das resistências) e cálculo numérico das resistências por unidade de comprimento.
  • Modelo do circuito (descrição): em série, do ambiente para o volume de ar interno:
    1. Resistência convectiva externa R'_o entre T_{\infty} e a superfície externa do isolamento.
    2. Resistência por condução radial do isolamento R'_{\text{ins}} entre a superfície externa do isolamento e a superfície externa do metal.
    3. Resistência por condução radial da parede metálica R'_{\text{m}} entre superfície externa do metal e superfície interna do metal.
    4. Resistência convectiva interna R'_i entre a superfície interna do metal e a temperatura média do ar em escoamento T(x).
      O sentido da taxa de transferência de calor é do ambiente quente para o ar frio (de T_{\infty}=38\,^{\circ}\mathrm{C} para T interno), ou seja, o ar ganha calor e sua temperatura aumenta ao longo do duto.
  • Expressões (por unidade de comprimento, 1\\ \mathrm{m}):
    • Convecção externa: R'_o=\frac{1}{h_o\cdot 2\pi r_o}.
    • Condução radial do isolamento: R'_{\text{ins}}=\frac{\ln(r_o/r_{m,o})}{2\pi k_{\text{ins}}}.
    • Condução radial do metal: R'_{\text{m}}=\frac{\ln(r_{m,o}/r_i)}{2\pi k_{\text{m}}}.
    • Convecção interna: R'_i=\frac{1}{h_i\cdot 2\pi r_i}.
  • Cálculo numérico (substituindo os números):
    • r_i=0{,}125\\ \mathrm{m}, r_{m,o}=0{,}150\\ \mathrm{m}, r_o=0{,}160\\ \mathrm{m}.
    • R'_i=\dfrac{1}{7{,}53\cdot2\pi\cdot0{,}125}\approx0{,}169\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
    • R'_{\text{m}}=\dfrac{\ln(0{,}150/0{,}125)}{2\pi\cdot14}\approx0{,}00207\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
    • R'_{\text{ins}}=\dfrac{\ln(0{,}160/0{,}150)}{2\pi\cdot0{,}065}\approx0{,}158\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
    • R'_o=\dfrac{1}{20\cdot2\pi\cdot0{,}160}\approx0{,}0497\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
    • Resistência total por unidade de comprimento:
      R'_{\text{tot}}=R'_i+R'_{\text{m}}+R'_{\text{ins}}+R'_o\approx0{,}169+0{,}00207+0{,}158+0{,}0497\approx0{,}3789\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
    • Condutância por unidade de comprimento (coeficiente global por metro):
      U'=\frac{1}{R'_{\text{tot}}}\approx\frac{1}{0{,}3789}\approx2{,}64\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
Observação de interpretação: R' foi calculada por unidade de comprimento (resistência entre ambiente e massa de ar por metro de tubo). Assim a taxa de calor por unidade de comprimento para uma diferença térmica \Delta T é q' = U' \Delta T em \mathrm{W}/\mathrm{m}.

Passo 4

Equação de balanço energético diferencial ao longo do duto (e sua solução).
  • Modelo físico e equações:
    • Considere a temperatura média do ar ao longo do duto T(x), onde x é a coordenada ao longo do eixo do duto ( x=0 entrada, x=L saída).
    • Para um trecho de comprimento dx, a potência de calor absorvida pelo ar por unidade de comprimento é q'(x)=U'\bigl(T_{\infty}-T(x)\bigr)\quad\bigl[\mathrm{W}/\mathrm{m}\bigr].(Explicação: diferença de temperatura entre ambiente e ar multiplicada pela condutância por metro.)
    • Energia adicionada ao ar no trecho dx é q'(x)\,dx. O aumento de energia do fluxo mássico é \dot{m} c_p\,dT.
      Assim o balanço energético por unidade de tempo: \dot{m} c_p \,\frac{dT}{dx}=q'(x)=U'\bigl(T_{\infty}-T(x)\bigr).
    • É uma ODE linear: \dfrac{dT}{dx}=\dfrac{U'}{\dot{m}c_p}\bigl(T_{\infty}-T\bigr). Defina a=\dfrac{U'}{\dot{m}c_p}.
  • Substituições numéricas:
    • \dot{m}=0{,}1\\ \mathrm{kg/s}, c_p=1007\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})\Rightarrow \dot{m}c_p=0{,}1\cdot1007=100{,}7\\ \mathrm{W}/\mathrm{K}.
    • U'\approx2{,}64\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
    • Portanto a=\frac{U'}{\dot{m}c_p}=\frac{2{,}64}{100{,}7}\approx0{,}02622\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Solução da ODE (condição inicial T(0)=T_{\text{in}}=16\,^{\circ}\mathrm{C}):
    \frac{dT}{dx}=a\bigl(T_{\infty}-T\bigr) \quad\Rightarrow\quad T(x)=T_{\infty}-\bigl(T_{\infty}-T_{\text{in}}\bigr)\,\mathrm{e}^{-a x}.

Passo 5

Cálculo da temperatura de saída e interpretação final.
  • Substituindo x=L=25\\ \mathrm{m}, T_{\infty}=38\,^{\circ}\mathrm{C}, T_{\text{in}}=16\,^{\circ}\mathrm{C}, a\approx0{,}02622\\ \mathrm{m}^{-1}: aL=0{,}02622\cdot25\approx0{,}6555, \qquad \mathrm{e}^{-aL}\approx\mathrm{e}^{-0{,}6555}\approx0{,}519.
T(L)=38-\bigl(38-16\bigr)\cdot0{,}519=38-22\cdot0{,}519\approx38-11{,}418\approx26{,}58\,^{\circ}\mathrm{C}.
  • Interpretação: o ar entra a 16\,^{\circ}\mathrm{C} e, ao percorrer 25\\ \mathrm{m} do duto com o isolamento descrito, aquece até aproximadamente 26{,}6\,^{\circ}\mathrm{C}. Se desejarmos reduzir esse aquecimento deveríamos aumentar a espessura do isolamento, diminuir h_o (p.ex. cobrindo o duto), aumentar a vazão mássica \dot{m} (o que aumenta o transporte de energia) ou reduzir trocas térmicas externas.

Resposta

a) Circuito térmico (em série, sentido do calor do ambiente quente para o ar frio):
T_{\infty}=38\,^{\circ}\mathrm{C} \xrightarrow{\;R'_o=\dfrac{1}{h_o\,2\pi r_o}\;} superfície externa do isolamento \xrightarrow{\;R'_{\text{ins}}=\dfrac{\ln(r_o/r_{m,o})}{2\pi k_{\text{ins}}}\;} superfície externa do metal \xrightarrow{\;R'_{\text{m}}=\dfrac{\ln(r_{m,o}/r_i)}{2\pi k_{\text{m}}}\;} superfície interna do metal \xrightarrow{\;R'_i=\dfrac{1}{h_i\,2\pi r_i}\;} ar em escoamento T(x).
b) Coeficiente convectivo interno calculado (Dittus–Boelter, \mathrm{Re}\approx2{,}76\times10^{4}, \mathrm{Pr}=0{,}707):
h_i\approx7{,}53\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
c) Temperatura de saída do ar ao final de L=25\\ \mathrm{m}:
T_{\text{out}}=T(L)\approx26{,}58\,^{\circ}\mathrm{C}.

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