Questão 12: Considere um tubo metálico de parede fina, com diâmetro interno D_{i}=29 \mathrm{~mm} e comprimento L=35 \mathrm{~m}, coberto por uma camada de um isolante térmico com 3 mm de espessura e cuja condutividade térmica é igual a 0,085 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}). Água entra no tubo a uma vazão de 40 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} e com uma temperatura T_{m, \mathrm{e}}=17^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor para a convecção entre o ar e a superfície do isolante é de 80 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right) e a temperatura ambiente externa é T_{\infty, \mathrm{e}}=45^{\circ} \mathrm{C}.
a) Desenhe o circuito térmico que representa a situação de transferência de calor em regime estacionário. Identifique todas resistências térmicas, nós de temperatura e sentido da taxa de transferência de calor.
b) Calcule o valor do coeficiente convectivo interno associado ao escoamento de água através de uma correlação empírica disponível na Literatura.
c) Determine o valor da temperatura de saída da água.
d) Cite duas medidas que poderiam ser realizadas para reduzir o ganho de temperatura da água no tubo nesse processo descrito na questão.

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos esses valores do enunciado):
  • Diâmetro interno do tubo: \,D_{i}=29\\ \mathrm{mm}=0{,}029\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do tubo: \,L=35\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do isolante: \,t_{\mathrm{ins}}=3\\ \mathrm{mm}=0{,}003\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do isolante: \,k_{\mathrm{ins}}=0{,}085\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Vazão mássica de água: \,\dot{m}=40\\ \mathrm{kg/h}=40/3600\\ \mathrm{kg/s}=0{,}011111\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura de entrada da água: \,T_{m,e}=17^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo externo (ar → superfície do isolante): \,h_{e}=80\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • Temperatura ambiente externa: \,T_{\infty,e}=45^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
a) Desenhar (descrever) o circuito térmico em regime estacionário, identificando resistências térmicas, nós de temperatura e sentido da taxa de calor.
b) Calcular o coeficiente convectivo interno \,h_{i} associado ao escoamento da água, usando uma correlação empírica.
c) Determinar a temperatura de saída da água T_{m,s}.
d) Citar duas medidas para reduzir o ganho de temperatura da água.
Observação: vou assumir que a parede metálica é “fina” ao ponto de negligenciar a resistência térmica da parede metálica (conforme indicado pelo enunciado). O isolante envolve o tubo por fora; portanto o isolamento externo tem raio interno igual ao raio do tubo e raio externo aumentado pela espessura do isolante. A solução numérica exigirá propriedades da água; vou estimá-las em temperatura intermediária (explico isso nos passos seguintes).

Passo 2

(a) Circuito térmico (descrição detalhada)
  • Sentido do fluxo térmico: como \,T_{\infty,e}=45^\circ\mathrm{C} > T_{m,e}=17^\circ\mathrm{C}, o calor flui do ar ambiente para a água (do exterior para o interior).
  • Nós de temperatura (em série, do exterior para o interior):
    1. nó externo: \,T_{\infty,e} (temperatura do ar ambiente).
    2. nó superfície externa do isolante: T_{s,o} (temperatura da superfície externa do isolante).
    3. nó superfície interna do isolante (ou superfície externa do tubo): T_{s,i}.
    4. nó fluido (temperatura do escoamento, que varia ao longo do comprimento): T_{m}(x) — no circuito equivalente usamos a temperatura média local do fluido.
  • Resistências térmicas em série (pela ordem do fluxo):
    1. Resistência convectiva externa (ar → superfície externa do isolante): R_{e}=\frac{1}{h_{e}\,A_{e}},\quad\text{com }A_{e}=\pi D_{o}L,onde D_{o}=D_{i}+2t_{\mathrm{ins}} é o diâmetro externo do conjunto isolante.
    2. Resistência de condução radial através do isolante (cilíndrica): R_{\mathrm{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}{2\pi k_{\mathrm{ins}} L},com r_{1}=D_{i}/2 (raio interno do isolante) e r_{2}=D_{o}/2 (raio externo do isolante).
    3. Resistência convectiva interna (superfície interna do tubo → fluido): R_{i}=\frac{1}{h_{i}\,A_{i}},\quad\text{com }A_{i}=\pi D_{i}L.
  • Circuito em série: T_{\infty,e} \xrightarrow{R_{e}} T_{s,o} \xrightarrow{R_{\mathrm{cond}}} T_{s,i} \xrightarrow{R_{i}} T_{m}.
    A taxa de transferência de calor em regime estacionário é a mesma ao longo de todas as resistências:
    \dot{Q}=\frac{T_{\infty,e}-T_{m,\text{local}}}{R_{e}+R_{\mathrm{cond}}+R_{i}}.
Observação: como T_{m} varia com x ao longo do tubo, para obter a temperatura de saída é necessário resolver o balanço energia ao longo do comprimento (faço isso nos passos posteriores).

Passo 3

(b) Determinação de h_{i}: escolha da correlação e cálculo passo a passo
Estratégia didática: para escolher a correlação precisamos saber o regime de escoamento (laminar ou turbulento). Então calculo a velocidade média, o número de Reynolds \mathrm{Re} e escolho a correlação apropriada.
  1. Área da seção interna do tubo:
A=\frac{\pi D_{i}^{2}}{4}.
Substituindo:
A=\frac{\pi (0{,}029)^{2}}{4}=0{,}0006605\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Vazão volumétrica e velocidade média:
\dot{V}=\frac{\dot{m}}{\rho},\qquad V=\frac{\dot{V}}{A}=\frac{\dot{m}}{\rho A}.
Para avaliar \rho (e outras propriedades: \mu, k, c_{p}) escolhe-se uma temperatura característica para “avaliar propriedades”. Uma prática comum é usar a temperatura de filme ou média entre a temperatura do fluido e a temperatura do meio ao redor. Como T_{m,e}=17^\circ\mathrm{C} e T_{\infty,e}=45^\circ\mathrm{C}, tomo uma estimativa inicial de temperatura de filme
T_{f}\approx\frac{17+45}{2}=31^\circ\mathrm{C}.
Usarei propriedades da água avaliadas aproximadamente em 30^\circ\mathrm{C}. Valores típicos (tabelados):
  • \rho\approx 995{,}7\\ \mathrm{kg/m^{3}},
  • \mu\approx 7{,}975\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
  • k\approx 0{,}613\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
  • c_{p}\approx 4179\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    (Obs.: valores arredondados; pequenas variações não alteram qualitativamente o resultado.)
Agora:
V=\frac{0{,}011111}{995{,}7\cdot 0{,}0006605}=0{,}01689\\ \mathrm{m/s}.
  1. Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D_{i}}{\mu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{995{,}7\cdot 0{,}01689\cdot 0{,}029}{7{,}975\times10^{-4}}\approx 612.
Conclusão: \mathrm{Re}\approx 612<2300 ⇒ escoamento laminar.
  1. Escolha da correlação para Nu (Nusselt) interna:
  • Para escoamento laminar em tubo completamente desenvolvido termicamente com parede a temperatura constante, o número de Nusselt assintótico é \,Nu=3{,}66.
  • Se o escoamento fosse turbulento usaríamos Dittus–Boelter ou outras correlações; aqui como \mathrm{Re}<2300 e o comprimento é longo (ver explicação de aperfeiçoamento do desenvolvimento térmico), uso \,Nu=3{,}66.
  1. Cálculo de h_{i}:
h_{i}=\frac{Nu\;k}{D_{i}}=\frac{3{,}66\cdot 0{,}613}{0{,}029}=77{,}3\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Resposta do item (b): \displaystyle h_{i}\approx 77{,}3\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.

Passo 4

(c) Cálculo da temperatura de saída da água T_{m,s}
Estratégia: resolver o balanço de energia diferencial ao longo do tubo considerando a resistência térmica por unidade de comprimento. Isso gera uma solução exponencial (molho de Newton para escoamento com temperatura do fluido variável e temperatura externa constante).
  1. Expressão geral para resistência por unidade de comprimento:
    Defino a resistência por unidade de comprimento (resistência térmica ao longo de 1 metro), R', de modo que o fluxo de calor por unidade de comprimento seja
\dot{q}'(x)=\frac{T_{\infty,e}-T_{m}(x)}{R'}\qquad\text{(W/m)}.
As contribuições por unidade de comprimento são:
R'_{e}=\frac{1}{h_{e}\,\pi D_{o}},\quad R'_{\mathrm{cond}}=\frac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k_{\mathrm{ins}}},\quad R'_{i}=\frac{1}{h_{i}\,\pi D_{i}}.
Portanto
R'=R'_{e}+R'_{\mathrm{cond}}+R'_{i}.
  1. Determinação dos diâmetros/raios necessários:
D_{o}=D_{i}+2t_{\mathrm{ins}}=0{,}029+2\cdot 0{,}003=0{,}035\\ \mathrm{m},
r_{1}=D_{i}/2=0{,}0145\\ \mathrm{m},\qquad r_{2}=D_{o}/2=0{,}0175\\ \mathrm{m}.
  1. Cálculo numérico das resistências por unidade de comprimento:
  • R'_{i}=\dfrac{1}{h_{i}\pi D_{i}}=\dfrac{1}{77{,}3\cdot\pi\cdot 0{,}029}. R'_{i}=\frac{1}{77{,}3\cdot 0{,}091106}=0{,}1419\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  • R'_{\mathrm{cond}}=\dfrac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k_{\mathrm{ins}}}. \ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}0175}{0{,}0145}\right)=0{,}1885,
R'_{\mathrm{cond}}=\frac{0{,}1885}{2\pi\cdot 0{,}085}=0{,}3530\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  • R'_{e}=\dfrac{1}{h_{e}\pi D_{o}}=\dfrac{1}{80\cdot\pi\cdot 0{,}035}. R'_{e}=\frac{1}{80\cdot 0{,}10996}=0{,}1137\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Somando:
R'=R'_{i}+R'_{\mathrm{cond}}+R'_{e}=0{,}1419+0{,}3530+0{,}1137=0{,}6086\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  1. Balanço de energia e solução:
    Para um elemento dx,
\dot{m} c_{p}\,\frac{dT_{m}}{dx}=\dot{q}'(x)=\frac{T_{\infty,e}-T_{m}(x)}{R'}.
Isto é uma equação diferencial linear cuja solução com condição inicial T_{m}(0)=T_{m,e} é
T_{m}(x)=T_{\infty,e}-\bigl(T_{\infty,e}-T_{m,e}\bigr)\exp\!\left(-\frac{x}{\dot{m} c_{p} R'}\right).
Logo a temperatura de saída (em x=L) é
T_{m,s}=T_{m}(L)=T_{\infty,e}-\bigl(T_{\infty,e}-T_{m,e}\bigr)\exp\!\left(-\frac{L}{\dot{m} c_{p} R'}\right).
  1. Avaliação numérica:
  • Primeiro calcule \dot{m}c_{p}: \dot{m}c_{p}=0{,}011111\cdot 4179=46{,}43\\ \mathrm{W/K}.
  • Calcula-se o expoente: \frac{1}{\dot{m}c_{p}R'}=\frac{1}{46{,}43\cdot 0{,}6086}=0{,}03538\\ \mathrm{m^{-1}}.
\frac{L}{\dot{m}c_{p}R'}=35\cdot 0{,}03538=1{,}2383.
  • Então: \exp\!\left(-\frac{L}{\dot{m}c_{p}R'}\right)=e^{-1{,}2383}=0{,}2903.
  • Por fim: T_{m,s}=45^\circ\mathrm{C}-\bigl(45-17\bigr)\cdot 0{,}2903 =45 - 28\cdot 0{,}2903 =45 - 8{,}1284 =36{,}87^\circ\mathrm{C}.
Resposta do item (c): a temperatura de saída da água é aproximadamente \,T_{m,s}\approx 36{,}9^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático rápido: fiz uma solução contínua (distribuída) porque a temperatura do fluido varia ao longo do comprimento; uma alternativa grosseira seria usar resistências totais e assumir temperatura média do fluido, mas a solução diferencial fornece a variação correta e evita iteração. Também justifiquei a escolha de propriedades da água em T_{f}\approx 30^\circ\mathrm{C}; se alguém recalcular com propriedades em 27\!-\!30^\circ\mathrm{C} o resultado muda muito pouco.

Passo 5

(d) Duas medidas para reduzir o ganho de temperatura da água (explicação e efeito qualitativo)
Vou indicar duas medidas práticas e por que elas ajudam:
  1. Aumentar a espessura do isolante (ou usar isolante com menor condutividade térmica):
    • Por que ajuda: aumenta R'_{\mathrm{cond}}=\dfrac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k_{\mathrm{ins}}}, portanto aumenta a resistência térmica total R' e reduz a taxa de calor que entra no fluido.
    • Efeito esperado: menor \dot{Q} e menor aumento de temperatura da água ao longo do tubo. É geralmente a forma mais direta e eficiente de reduzir ganho térmico.
  2. Aumentar a vazão mássica \dot{m} da água (reduzir o tempo de residência):
    • Por que ajuda: num balanço energético \dot{m}c_{p}\,dT/dx=\dot{q}', quanto maior \dot{m}c_{p} menor será a variação de temperatura para mesma taxa de calor por unidade de comprimento; o expoente \dfrac{1}{\dot{m}c_{p}R'} diminui, logo a fração \exp(-\cdot) muda e a água sai mais próxima da temperatura de entrada.
    • Efeito esperado: a água aquece menos porque cada kg de água absorve menos calor (ou melhor: o calor é distribuído em mais massa por tempo).
Observação: outras medidas possíveis (não pedidas, apenas para referência) incluem reduzir o coeficiente convectivo externo (proteger o tubo de vento, ou reduzir temperatura ambiente), usar revestimento refletivo para radiação, ou circular o fluido em temperatura mais baixa (trocar com água fria externa), mas as duas medidas acima são as mais diretas e geralmente práticas.

Resposta

(a) Circuito térmico em série do exterior para o interior:
T_{\infty,e}\xrightarrow{R_{e}=\dfrac{1}{h_{e}\pi D_{o}L}}T_{s,o}\xrightarrow{R_{\mathrm{cond}}=\dfrac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k_{\mathrm{ins}}L}}T_{s,i}\xrightarrow{R_{i}=\dfrac{1}{h_{i}\pi D_{i}L}}T_{m}(x). O calor flui do ar ( 45^\circ\mathrm{C}) para a água ( 17^\circ\mathrm{C}), através de R_{e} (convecção externa), R_{\mathrm{cond}} (condução no isolante) e R_{i} (convecção interna).
(b) \displaystyle h_{i}\approx 77{,}3\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
(c) \displaystyle T_{m,s}\approx 36{,}9^\circ\mathrm{C}.
(d) Duas medidas:
  1. Aumentar a espessura do isolante (ou usar isolante de menor k); 2. Aumentar a vazão mássica de água (maior \dot{m}).

Exercícios relacionados