Questão 12: Considere um tubo metálico de parede fina, com diâmetro interno D_{i}=29 \mathrm{~mm} e comprimento L=35 \mathrm{~m}, coberto por uma camada de um isolante térmico com 3 mm de espessura e cuja condutividade térmica é igual a 0,085 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}). Água entra no tubo a uma vazão de 40 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} e com uma temperatura T_{m, \mathrm{e}}=17^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor para a convecção entre o ar e a superfície do isolante é de 80 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right) e a temperatura ambiente externa é T_{\infty, \mathrm{e}}=45^{\circ} \mathrm{C}.
a) Desenhe o circuito térmico que representa a situação de transferência de calor em regime estacionário. Identifique todas resistências térmicas, nós de temperatura e sentido da taxa de transferência de calor.
b) Calcule o valor do coeficiente convectivo interno associado ao escoamento de água através de uma correlação empírica disponível na Literatura.
c) Determine o valor da temperatura de saída da água.
d) Cite duas medidas que poderiam ser realizadas para reduzir o ganho de temperatura da água no tubo nesse processo descrito na questão.
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos esses valores do enunciado):
Diâmetro interno do tubo: \,D_{i}=29\\ \mathrm{mm}=0{,}029\\ \mathrm{m}.
Comprimento do tubo: \,L=35\\ \mathrm{m}.
Espessura do isolante: \,t_{\mathrm{ins}}=3\\ \mathrm{mm}=0{,}003\\ \mathrm{m}.
Condutividade térmica do isolante: \,k_{\mathrm{ins}}=0{,}085\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Vazão mássica de água: \,\dot{m}=40\\ \mathrm{kg/h}=40/3600\\ \mathrm{kg/s}=0{,}011111\\ \mathrm{kg/s}.
Temperatura de entrada da água: \,T_{m,e}=17^\circ\mathrm{C}.
Coeficiente convectivo externo (ar → superfície do isolante): \,h_{e}=80\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Temperatura ambiente externa: \,T_{\infty,e}=45^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
a) Desenhar (descrever) o circuito térmico em regime estacionário, identificando resistências térmicas, nós de temperatura e sentido da taxa de calor.
b) Calcular o coeficiente convectivo interno \,h_{i} associado ao escoamento da água, usando uma correlação empírica.
c) Determinar a temperatura de saída da água T_{m,s}.
d) Citar duas medidas para reduzir o ganho de temperatura da água.
Observação: vou assumir que a parede metálica é “fina” ao ponto de negligenciar a resistência térmica da parede metálica (conforme indicado pelo enunciado). O isolante envolve o tubo por fora; portanto o isolamento externo tem raio interno igual ao raio do tubo e raio externo aumentado pela espessura do isolante. A solução numérica exigirá propriedades da água; vou estimá-las em temperatura intermediária (explico isso nos passos seguintes).
Passo 2
(a) Circuito térmico (descrição detalhada)
Sentido do fluxo térmico: como \,T_{\infty,e}=45^\circ\mathrm{C} > T_{m,e}=17^\circ\mathrm{C}, o calor flui do ar ambiente para a água (do exterior para o interior).
Nós de temperatura (em série, do exterior para o interior):
nó externo: \,T_{\infty,e} (temperatura do ar ambiente).
nó superfície externa do isolante: T_{s,o} (temperatura da superfície externa do isolante).
nó superfície interna do isolante (ou superfície externa do tubo): T_{s,i}.
nó fluido (temperatura do escoamento, que varia ao longo do comprimento): T_{m}(x) — no circuito equivalente usamos a temperatura média local do fluido.
Resistências térmicas em série (pela ordem do fluxo):
Resistência convectiva externa (ar → superfície externa do isolante):R_{e}=\frac{1}{h_{e}\,A_{e}},\quad\text{com }A_{e}=\pi D_{o}L,onde D_{o}=D_{i}+2t_{\mathrm{ins}} é o diâmetro externo do conjunto isolante.
Resistência de condução radial através do isolante (cilíndrica):R_{\mathrm{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}{2\pi k_{\mathrm{ins}} L},com r_{1}=D_{i}/2 (raio interno do isolante) e r_{2}=D_{o}/2 (raio externo do isolante).
Circuito em série: T_{\infty,e} \xrightarrow{R_{e}} T_{s,o} \xrightarrow{R_{\mathrm{cond}}} T_{s,i} \xrightarrow{R_{i}} T_{m}.
A taxa de transferência de calor em regime estacionário é a mesma ao longo de todas as resistências:
Observação: como T_{m} varia com x ao longo do tubo, para obter a temperatura de saída é necessário resolver o balanço energia ao longo do comprimento (faço isso nos passos posteriores).
Passo 3
(b) Determinação de h_{i}: escolha da correlação e cálculo passo a passo
Estratégia didática: para escolher a correlação precisamos saber o regime de escoamento (laminar ou turbulento). Então calculo a velocidade média, o número de Reynolds \mathrm{Re} e escolho a correlação apropriada.
Para avaliar \rho (e outras propriedades: \mu, k, c_{p}) escolhe-se uma temperatura característica para “avaliar propriedades”. Uma prática comum é usar a temperatura de filme ou média entre a temperatura do fluido e a temperatura do meio ao redor. Como T_{m,e}=17^\circ\mathrm{C} e T_{\infty,e}=45^\circ\mathrm{C}, tomo uma estimativa inicial de temperatura de filme
T_{f}\approx\frac{17+45}{2}=31^\circ\mathrm{C}.
Usarei propriedades da água avaliadas aproximadamente em 30^\circ\mathrm{C}. Valores típicos (tabelados):
Para escoamento laminar em tubo completamente desenvolvido termicamente com parede a temperatura constante, o número de Nusselt assintótico é \,Nu=3{,}66.
Se o escoamento fosse turbulento usaríamos Dittus–Boelter ou outras correlações; aqui como \mathrm{Re}<2300 e o comprimento é longo (ver explicação de aperfeiçoamento do desenvolvimento térmico), uso \,Nu=3{,}66.
Resposta do item (b): \displaystyle h_{i}\approx 77{,}3\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Passo 4
(c) Cálculo da temperatura de saída da água T_{m,s}
Estratégia: resolver o balanço de energia diferencial ao longo do tubo considerando a resistência térmica por unidade de comprimento. Isso gera uma solução exponencial (molho de Newton para escoamento com temperatura do fluido variável e temperatura externa constante).
Expressão geral para resistência por unidade de comprimento:
Defino a resistência por unidade de comprimento (resistência térmica ao longo de 1 metro), R', de modo que o fluxo de calor por unidade de comprimento seja
Resposta do item (c): a temperatura de saída da água é aproximadamente \,T_{m,s}\approx 36{,}9^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático rápido: fiz uma solução contínua (distribuída) porque a temperatura do fluido varia ao longo do comprimento; uma alternativa grosseira seria usar resistências totais e assumir temperatura média do fluido, mas a solução diferencial fornece a variação correta e evita iteração. Também justifiquei a escolha de propriedades da água em T_{f}\approx 30^\circ\mathrm{C}; se alguém recalcular com propriedades em 27\!-\!30^\circ\mathrm{C} o resultado muda muito pouco.
Passo 5
(d) Duas medidas para reduzir o ganho de temperatura da água (explicação e efeito qualitativo)
Vou indicar duas medidas práticas e por que elas ajudam:
Aumentar a espessura do isolante (ou usar isolante com menor condutividade térmica):
Por que ajuda: aumenta R'_{\mathrm{cond}}=\dfrac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k_{\mathrm{ins}}}, portanto aumenta a resistência térmica total R' e reduz a taxa de calor que entra no fluido.
Efeito esperado: menor \dot{Q} e menor aumento de temperatura da água ao longo do tubo. É geralmente a forma mais direta e eficiente de reduzir ganho térmico.
Aumentar a vazão mássica \dot{m} da água (reduzir o tempo de residência):
Por que ajuda: num balanço energético \dot{m}c_{p}\,dT/dx=\dot{q}', quanto maior \dot{m}c_{p} menor será a variação de temperatura para mesma taxa de calor por unidade de comprimento; o expoente \dfrac{1}{\dot{m}c_{p}R'} diminui, logo a fração \exp(-\cdot) muda e a água sai mais próxima da temperatura de entrada.
Efeito esperado: a água aquece menos porque cada kg de água absorve menos calor (ou melhor: o calor é distribuído em mais massa por tempo).
Observação: outras medidas possíveis (não pedidas, apenas para referência) incluem reduzir o coeficiente convectivo externo (proteger o tubo de vento, ou reduzir temperatura ambiente), usar revestimento refletivo para radiação, ou circular o fluido em temperatura mais baixa (trocar com água fria externa), mas as duas medidas acima são as mais diretas e geralmente práticas.
Resposta
(a) Circuito térmico em série do exterior para o interior: T_{\infty,e}\xrightarrow{R_{e}=\dfrac{1}{h_{e}\pi D_{o}L}}T_{s,o}\xrightarrow{R_{\mathrm{cond}}=\dfrac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k_{\mathrm{ins}}L}}T_{s,i}\xrightarrow{R_{i}=\dfrac{1}{h_{i}\pi D_{i}L}}T_{m}(x). O calor flui do ar (45^\circ\mathrm{C}) para a água (17^\circ\mathrm{C}), através de R_{e} (convecção externa), R_{\mathrm{cond}} (condução no isolante) e R_{i} (convecção interna).