Questão 2: Uma parede plana com altura de 2 m , comprimento de 3,5 \mathrm{~m} e espessura de 6 cm , e cuja condutividade térmica de seu material é igual a 5 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}), apresenta uma taxa volumétrica de geração de calor uniforme de 10 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{3} e está isolada em um dos seus lados, enquanto o outro encontra-se exposto ao ar, com temperatura \mathrm{T}_{\infty}=320 \mathrm{~K} e velocidade de 18 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em escoamento paralelo ao seu comprimento. (Despreze os efeitos da radiação).
a) Calcule o valor do coeficiente convectivo externo associado ao escoamento de ar através de uma correlação empírica disponível na Literatura.
b) Determine o fluxo de calor perdido pela parede, a temperatura na superfície exposta ao fluido, e a temperatura na superfície isolada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei todos os números do enunciado).
Dados:
  • Altura da parede: \,2{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento (no qual o ar escoa paralelo): \,3{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da parede (espessura na direção da condução): \,L=0{,}06\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do material da parede: \,k=5\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Taxa volumétrica de geração de calor uniforme: \,q'''=10{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^{3}}.
  • Um lado da parede está isolado (sem fluxo de calor nesse lado).
  • O outro lado está exposto ao ar com:
    • Temperatura do ar: \,T_{\infty}=320\\ \mathrm{K}.
    • Velocidade do ar: \,U_{\infty}=18\\ \mathrm{km/h}=5{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Desprezar radiação.
O enunciado pede:
(a) Calcular o coeficiente convectivo externo h associado ao escoamento de ar, usando alguma correlação empírica adequada.
(b) Determinar:
  • O fluxo de calor perdido pela parede (potência total que sai pela face exposta), Q.
  • A temperatura na superfície exposta ao fluido (face convectiva), T_s.
  • A temperatura na superfície isolada (face oposta), T_{0}.

Passo 2

Primeira ideia física e simplificação útil (razão e consistência): como um lado está isolado, todo o calor gerado volumetricamente na parede deve, em regime estacionário, sair apenas pela face exposta. Isso simplifica o balanço energético global — é só calcular a geração volumétrica total e igualá-la ao calor convectado.
Cálculo do volume e da potência total gerada:
\text{Volume} = (\text{altura})\times(\text{comprimento})\times(\text{espessura}) =2{,}0\times3{,}5\times0{,}06=0{,}42\\ \mathrm{m^{3}}.
Q = q'''\times\text{Volume}=10{,}000\\ \mathrm{W/m^{3}}\times0{,}42\\ \mathrm{m^{3}}=4{,}200\\ \mathrm{W}.
Portanto, a potência que deve ser removida por convecção na face exposta é \,4{,}200\\ \mathrm{W}.
Também é útil o fluxo de calor por unidade de área na face exposta (densidade de fluxo):
A_{\text{conv}}=(2{,}0)(3{,}5)=7{,}0\\ \mathrm{m^{2}},\qquad q''=\frac{Q}{A_{\text{conv}}}=\frac{4{,}200}{7{,}0}=600\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente convectivo h. Para isso precisamos usar uma correlação empírica para escoamento externo sobre uma placa plana com escoamento paralelo ao comprimento. Procedimento padrão:
  1. Escolher propriedades do ar (usadas na correlação): número de Prandtl \mathrm{Pr}, viscosidade cinemática \nu e condutividade térmica do ar k_{\text{ar}}. Essas propriedades dependem da temperatura, mas como T_s ainda é desconhecida, é comum avaliar em uma temperatura de filme próxima de T_{\infty}. Aqui adotarei valores típicos em torno de \,320\\ \mathrm{K}: \mathrm{Pr}\approx0{,}71,\qquad \nu\approx1{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s},\qquad k_{\text{ar}}\approx0{,}027\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.(Se preferir uma precisão maior, pode iterar usando T_s calculada e atualizar as propriedades; aqui o efeito é pequeno.)
  2. Calcular o número de Reynolds baseado no comprimento característico L_c=3{,}5\\ \mathrm{m}:
\mathrm{Re}_{L}=\frac{U_{\infty} L_{c}}{\nu} =\frac{5{,}0\times3{,}5}{1{,}8\times10^{-5}}\approx9{,}72\times10^{5}.
  1. Identificar o regime de escoamento: como \mathrm{Re}_{L}\approx9{,}7\times10^{5}>\,5\times10^{5}, o escoamento sobre a placa está predominantemente turbulento (região onde as correlações “turbulentas” valem).
  2. Usar a correlação empírica média apropriada para a placa em regime turbulento (válida tipicamente para 5\times10^{5}<\mathrm{Re}_{L}<10^{7}):
\mathrm{Nu}_{L}=0{,}037\,\mathrm{Re}_{L}^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3},
onde \mathrm{Nu}_{L}=\dfrac{h L_{c}}{k_{\text{ar}}} é o número de Nusselt médio sobre o comprimento L_c.

Passo 4

Aplicando a correlação e calculando h passo a passo.
Calcular \mathrm{Re}_{L}^{4/5}:
\mathrm{Re}_{L}^{4/5}=(9{,}72\times10^{5})^{4/5}\approx6{,}16\times10^{4}.
Calcular \mathrm{Pr}^{1/3}:
\mathrm{Pr}^{1/3}\approx(0{,}71)^{1/3}\approx0{,}892.
Agora a Nusselt média:
\mathrm{Nu}_{L}=0{,}037\times6{,}16\times10^{4}\times0{,}892\approx2{,}03\times10^{3}.
Desse modo o coeficiente convectivo médio é
h=\frac{\mathrm{Nu}_{L}\,k_{\text{ar}}}{L_{c}} =\frac{2{,}03\times10^{3}\times0{,}027}{3{,}5} \approx15{,}7\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Breve lembrete do que cada símbolo significa:
  • \mathrm{Re}_{L} é o número de Reynolds baseado no comprimento: mede razão entre forças inerciais e viscosas do fluido.
  • \mathrm{Pr} é o número de Prandtl: razão entre difusividade de momento (viscosidade cinemática) e difusividade térmica; determina influência relativa entre camada limite térmica e hidrodinâmica.
  • \mathrm{Nu}_{L} é o número de Nusselt: mede a transferência convectiva relativa à condução; a relação \mathrm{Nu}=h L/k h.

Passo 5

Verificação energética simples usando o h encontrado: como comentado no Passo 2, o fluxo superficial q'' pode também ser expresso pela condição convectiva
q''=h\,(T_{s}-T_{\infty}).
Como já calculamos q''=600\\ \mathrm{W/m^{2}} e h\approx15{,}7\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}, então
T_{s}=T_{\infty}+\frac{q''}{h}=320+\frac{600}{15{,}7}\\ \mathrm{K}.
Fazendo a conta numericamente (detalho no próximo passo) teremos o valor de T_{s}.

Passo 6

Agora vamos obter a distribuição de temperatura na parede e a temperatura da face isolada por meio da equação de condução unidimensional com geração volumétrica, em regime estacionário.
Equação diferencial (1D, estado estacionário, geração volumétrica uniforme):
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=-\frac{q'''}{k},
onde x é a coordenada na espessura, escolhida com x=0 na face isolada e x=L na face exposta ao ar.
Integramos duas vezes:
\frac{dT}{dx}=-\frac{q'''}{k}x+C_{1},
T(x)=-\frac{q'''}{2k}x^{2}+C_{1}x+C_{2}.
Aplicar condições de contorno:
  1. Face isolada em x=0: condição de fluxo nulo \Rightarrow \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{0}=0. Isso implica C_{1}=0.
  2. Face exposta em x=L: condição de convecção de Newton:
-k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{L}=h\bigl(T(L)-T_{\infty}\bigr).
Com C_{1}=0 temos \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{L}=-\dfrac{q'''}{k}L. Substituindo:
-k\left(-\frac{q'''}{k}L\right)=q'''L=h\bigl(T(L)-T_{\infty}\bigr).
Logo:
T(L)=T_{\infty}+\frac{q'''L}{h}.
Observação: \dfrac{q'''L}{\vphantom{1} } é precisamente o fluxo superficial q'' gerado internamente ( q''=q'''L), então a expressão coincide com a que usamos no Passo 5.
Com C_{1}=0 e T(L) conhecido, encontramos C_{2} via
T(L)=-\frac{q'''}{2k}L^{2}+C_{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=T(L)+\frac{q'''}{2k}L^{2}.
Então a temperatura na face isolada ( x=0) é
T(0)=C_{2}=T(L)+\frac{q'''L^{2}}{2k}.
Interpretação simples:
  • T(L) é a temperatura da face exposta, determinada pela convecção equilibrando o fluxo gerado por unidade de área q'''L.
  • A face isolada é mais quente que a face exposta por um acréscimo \dfrac{q'''L^{2}}{2k}, proveniente do gradiente quadrático gerado pela produção volumétrica.

Passo 7

Agora colocamos números finais usando os resultados anteriores.
Relembrando:
q''=q'''L=10{,}000\times0{,}06=600\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Com h\approx15{,}7\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}:
T_{s}=T(L)=T_{\infty}+\frac{q''}{h}=320+\frac{600}{15{,}7}\\ \mathrm{K} \approx320+38{,}3\\ \mathrm{K}=358{,}3\\ \mathrm{K}.
Temperatura da face isolada:
\Delta T_{\text{entre faces}}=\frac{q'''L^{2}}{2k} =\frac{10{,}000\times(0{,}06)^{2}}{2\times5} =\frac{10{,}000\times0{,}0036}{10}=3{,}6\\ \mathrm{K}.
T_{0}=T(0)=T(L)+3{,}6\\ \mathrm{K}\approx358{,}3+3{,}6=361{,}9\\ \mathrm{K}.
Confirmando o fluxo total:
Q=h A_{\text{conv}}(T_{s}-T_{\infty})\approx15{,}7\times7{,}0\times(358{,}3-320) \approx15{,}7\times7{,}0\times38{,}3\approx4{,}200\\ \mathrm{W},
o que coincide com a geração total calculada no Passo 2 (boa consistência).

Resposta

h\approx15{,}7\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}
Q=4{,}200\\ \mathrm{W}
T_{s}\approx358{,}3\\ \mathrm{K}
T_{0}\approx361{,}9\\ \mathrm{K}

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