Questão 2: Uma parede plana com altura de 2 m , comprimento de 3,5 \mathrm{~m} e espessura de 6 cm , e cuja condutividade térmica de seu material é igual a 5 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}), apresenta uma taxa volumétrica de geração de calor uniforme de 10 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{3} e está isolada em um dos seus lados, enquanto o outro encontra-se exposto ao ar, com temperatura \mathrm{T}_{\infty}=320 \mathrm{~K} e velocidade de 18 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em escoamento paralelo ao seu comprimento. (Despreze os efeitos da radiação).
a) Calcule o valor do coeficiente convectivo externo associado ao escoamento de ar através de uma correlação empírica disponível na Literatura.
b) Determine o fluxo de calor perdido pela parede, a temperatura na superfície exposta ao fluido, e a temperatura na superfície isolada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei todos os números do enunciado).
Dados:
Altura da parede: \,2{,}0\\ \mathrm{m}.
Comprimento (no qual o ar escoa paralelo): \,3{,}5\\ \mathrm{m}.
Espessura da parede (espessura na direção da condução): \,L=0{,}06\\ \mathrm{m}.
Condutividade térmica do material da parede: \,k=5\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Taxa volumétrica de geração de calor uniforme: \,q'''=10{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^{3}}.
Um lado da parede está isolado (sem fluxo de calor nesse lado).
O outro lado está exposto ao ar com:
Temperatura do ar: \,T_{\infty}=320\\ \mathrm{K}.
Velocidade do ar: \,U_{\infty}=18\\ \mathrm{km/h}=5{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Desprezar radiação.
O enunciado pede:
(a) Calcular o coeficiente convectivo externo h associado ao escoamento de ar, usando alguma correlação empírica adequada.
(b) Determinar:
O fluxo de calor perdido pela parede (potência total que sai pela face exposta), Q.
A temperatura na superfície exposta ao fluido (face convectiva), T_s.
A temperatura na superfície isolada (face oposta), T_{0}.
Passo 2
Primeira ideia física e simplificação útil (razão e consistência): como um lado está isolado, todo o calor gerado volumetricamente na parede deve, em regime estacionário, sair apenas pela face exposta. Isso simplifica o balanço energético global — é só calcular a geração volumétrica total e igualá-la ao calor convectado.
Vamos calcular o coeficiente convectivo h. Para isso precisamos usar uma correlação empírica para escoamento externo sobre uma placa plana com escoamento paralelo ao comprimento. Procedimento padrão:
Escolher propriedades do ar (usadas na correlação): número de Prandtl \mathrm{Pr}, viscosidade cinemática \nu e condutividade térmica do ar k_{\text{ar}}. Essas propriedades dependem da temperatura, mas como T_s ainda é desconhecida, é comum avaliar em uma temperatura de filme próxima de T_{\infty}. Aqui adotarei valores típicos em torno de \,320\\ \mathrm{K}:\mathrm{Pr}\approx0{,}71,\qquad \nu\approx1{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s},\qquad k_{\text{ar}}\approx0{,}027\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.(Se preferir uma precisão maior, pode iterar usando T_s calculada e atualizar as propriedades; aqui o efeito é pequeno.)
Calcular o número de Reynolds baseado no comprimento característico L_c=3{,}5\\ \mathrm{m}:
Identificar o regime de escoamento: como \mathrm{Re}_{L}\approx9{,}7\times10^{5}>\,5\times10^{5}, o escoamento sobre a placa está predominantemente turbulento (região onde as correlações “turbulentas” valem).
Usar a correlação empírica média apropriada para a placa em regime turbulento (válida tipicamente para 5\times10^{5}<\mathrm{Re}_{L}<10^{7}):
\mathrm{Re}_{L} é o número de Reynolds baseado no comprimento: mede razão entre forças inerciais e viscosas do fluido.
\mathrm{Pr} é o número de Prandtl: razão entre difusividade de momento (viscosidade cinemática) e difusividade térmica; determina influência relativa entre camada limite térmica e hidrodinâmica.
\mathrm{Nu}_{L} é o número de Nusselt: mede a transferência convectiva relativa à condução; a relação \mathrm{Nu}=h L/k dá h.
Passo 5
Verificação energética simples usando o h encontrado: como comentado no Passo 2, o fluxo superficial q'' pode também ser expresso pela condição convectiva
q''=h\,(T_{s}-T_{\infty}).
Como já calculamos q''=600\\ \mathrm{W/m^{2}} e h\approx15{,}7\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}, então
Fazendo a conta numericamente (detalho no próximo passo) teremos o valor de T_{s}.
Passo 6
Agora vamos obter a distribuição de temperatura na parede e a temperatura da face isolada por meio da equação de condução unidimensional com geração volumétrica, em regime estacionário.
Equação diferencial (1D, estado estacionário, geração volumétrica uniforme):
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=-\frac{q'''}{k},
onde x é a coordenada na espessura, escolhida com x=0 na face isolada e x=L na face exposta ao ar.
Integramos duas vezes:
\frac{dT}{dx}=-\frac{q'''}{k}x+C_{1},
T(x)=-\frac{q'''}{2k}x^{2}+C_{1}x+C_{2}.
Aplicar condições de contorno:
Face isolada em x=0: condição de fluxo nulo \Rightarrow \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{0}=0. Isso implica C_{1}=0.
Face exposta em x=L: condição de convecção de Newton:
Observação: \dfrac{q'''L}{\vphantom{1} } é precisamente o fluxo superficial q'' gerado internamente (q''=q'''L), então a expressão coincide com a que usamos no Passo 5.
Com C_{1}=0 e T(L) conhecido, encontramos C_{2} via
T(L) é a temperatura da face exposta, determinada pela convecção equilibrando o fluxo gerado por unidade de área q'''L.
A face isolada é mais quente que a face exposta por um acréscimo \dfrac{q'''L^{2}}{2k}, proveniente do gradiente quadrático gerado pela produção volumétrica.
Passo 7
Agora colocamos números finais usando os resultados anteriores.