Questão 4: EDO Não Homogênea com Cosseno Considere a seguinte equação diferencial ordinária:
- (A) Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo não homogênea com cosseno. A equação que temos é:
Aqui, trabalharemos com equações diferenciais ordinárias (EDOs) de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada e por uma solução particular da não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral da homogênea vai nos dar a base para a solução completa.
Passo 3
Para resolver a homogênea, encontramos as raízes características da equação auxiliar:
Resolvendo para $ r $:
Como as raízes são complexas, a solução geral da homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação não homogênea:
Como o lado direito é um cosseno, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem determinadas.
Passo 5
Calculamos as derivadas de $ y_p(x) $:
Substituímos $ y_p $ e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Agora igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Finalmente, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: