Questão 4: EDO Não Homogênea com Cosseno Considere a seguinte equação diferencial ordinária:
y^prime prime+4 y=cos (x)
  • (A) Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo não homogênea com cosseno. A equação que temos é:
y'' + 4y = cos(x)
Aqui, trabalharemos com equações diferenciais ordinárias (EDOs) de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada e por uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' + 4y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral da homogênea vai nos dar a base para a solução completa.

Passo 3

Para resolver a homogênea, encontramos as raízes características da equação auxiliar:
r^2 + 4 = 0
Resolvendo para $ r $:
r
Como as raízes são complexas, a solução geral da homogênea é:
r^2 = -4 r = pm 2i
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação não homogênea:
yp(x)
Como o lado direito é um cosseno, vamos supor que a solução particular tem a forma:
y'' + 4y = cos(x)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem determinadas.

Passo 5

Calculamos as derivadas de $ y_p(x) $:
yp(x)
Substituímos $ y_p $ e suas derivadas na equação original:
yp'(x) = -A sin(x) + B cos(x) yp''(x) = -A cos(x) - B sin(x)
Simplificando:
yp
(-A cos(x) - B sin(x)) + 4(A cos(x) + B sin(x)) = cos(x)

Passo 6

Agora igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
3A = 1 Rightarrow A = 13 3B = 0 Rightarrow B = 0
Então, a solução particular é:
yp(x) = 13 cos(x)

Passo 7

Finalmente, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) + 13 cos(x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) + 13 cos(x)

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