Vimos que o sistema
l dotx=-y doty=x
se transforma na EDO complexa dotz=i z(z=x+i y). Isto sugere que soluções complexas do tipo C e^i t, C=C1+i C2, C1, C2 in R, se convertem em soluções do sistema. Use a fórmula de Euler para obter soluções (x, y)(t) do sistema nos parâmetros C1, C2. E se a constante complexa for escrita em forma polar C=R e^i omega, R>0, omega in R ?

Passo 1

A questão trata do sistema dot x = -y,;dot y = x, que decompomos em
EDO complexa dot z = i z com z=x+iy. Vamos usar a forma geral de solução z(t)=C e^it e a fórmula de Euler para extrair x(t) e y(t).

Passo 2

Recordando a fórmula de Euler:
e^it=cos t + isin t

Passo 3

Tomando C=C1+iC2, escrevemos
z(t)=C,e^it=(C1+iC2)(cos t + isin t)

Passo 4

Fazendo a multiplicação e agrupando parte real e imaginária:
(C1+iC2)(cos t + isin t) = (C1cos t - C2sin t) ;+;i,(C1sin t + C2cos t)

Passo 5

Portanto as componentes reais
x(t) e imaginárias
y(t) são:
x(t)=C1cos t - C2sin t, y(t)=C1sin t + C2cos t

Passo 6

Se escrevermos a constante C em coordenadas polares como C=R e^iomega, então
z(t)=R e^iomegae^it=R e^i(t+omega),

Passo 7

e por Euler decorre diretamente:
x(t)=Rcos(t+omega), y(t)=Rsin(t+omega)

Resposta

As soluções gerais são
boxedx(t)=C1cos t - C2sin t, y(t)=C1sin t + C2cos t,
e, usando C=R e^iomega, equivalentemente
boxedx(t)=Rcos(t+omega), y(t)=Rsin(t+omega)

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