Vimos que o sistema
se transforma na EDO complexa
. Isto sugere que soluções complexas do tipo
,
, se convertem em soluções do sistema. Use a fórmula de Euler para obter soluções
do sistema nos parâmetros
. E se a constante complexa for escrita em forma polar
?
Passo 1
A questão trata do sistema
, que decompomos em
EDO complexa com
. Vamos usar a forma geral de solução
e a fórmula de Euler para extrair
e
.
EDO complexa
Passo 2
Recordando a fórmula de Euler:
Passo 3
Tomando
, escrevemos
Passo 4
Fazendo a multiplicação e agrupando parte real e imaginária:
Passo 5
Portanto as componentes reais
e imaginárias
são:
Passo 6
Se escrevermos a constante
em coordenadas polares como
, então
Passo 7
e por Euler decorre diretamente:
Resposta
As soluções gerais são
e, usando
, equivalentemente