Questão 3: EDO de Segunda Ordem - Homogénea Considere a seguinte equação diferencial homogenea:
y^prime prime-5 y^prime+6 y=0
  • (A) Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é homogênea:
y'' - 5y' + 6y = 0
O conteúdo que a gente vai usar aqui são as equações diferenciais homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a equação característica e encontrar suas raízes.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica. Isso é feito substituindo $ y $ por $ e^{rt} $ na equação diferencial. A equação característica fica assim:
y

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Podemos fatorar a equação:
r
Então, temos duas soluções para $ r $:
(r - 2)(r - 3) = 0

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(t) = C1 e^2t + C2 e^3t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^2t + C2 e^3t

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