Questão 3: EDO de Segunda Ordem - Homogénea Considere a seguinte equação diferencial homogenea:
- (A) Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é homogênea:
O conteúdo que a gente vai usar aqui são as equações diferenciais homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a equação característica e encontrar suas raízes.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica. Isso é feito substituindo $ y $ por $ e^{rt} $ na equação diferencial. A equação característica fica assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Podemos fatorar a equação:
Então, temos duas soluções para $ r $:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: