Questão 5. Qual é o efeito da rotação da Terra (em relação ao próprio eixo) sobre a aceleração dos corpos? Considere um laboratório situado ao nível do mar e próximo ao equador no qual há uma pequena esfera suspensa por um fio. Em relação a um referencial inercial, determine,
:
(a) A aceleração da esfera quando ela está em repouso em relação ao laboratório.
(b) A aceleração da esfera quando o fio se rompe e a esfera começa a cair (desconsidere as interações com o ar).
(a) A aceleração da esfera quando ela está em repouso em relação ao laboratório.
(b) A aceleração da esfera quando o fio se rompe e a esfera começa a cair (desconsidere as interações com o ar).
Passo 1
O enunciado pede que eu estime o efeito da rotação da Terra sobre a aceleração de uma pequena esfera situada num laboratório ao nível do mar e próximo ao equador. Especificamente, são pedidas duas coisas (em relação a um referencial inercial, unidades
):
- (a) a aceleração da esfera enquanto ela está em repouso relativo ao laboratório (ou seja, presa ao fio e acompanhando a rotação da Terra);
- (b) a aceleração da esfera imediatamente após o fio romper, desprezando resistência do ar.
Informações/valores que vou usar (valores padrão conhecidos):
- Período de rotação da Terra
. - Velocidade angular da rotação terrestre
. - Raio aproximado da Terra ao nível do mar
. - Aceleração da gravidade próxima à superfície (valor habitual)
.
Passo 2
Conceito físico necessário (passo-a-passo bem didático):
- Um ponto do equador descreve, no referencial inercial, um movimento circular uniforme em torno do eixo de rotação da Terra. Para qualquer movimento circular uniforme de raio
e velocidade angular a aceleração do ponto (aceleração centrípeta) tem magnitude
e está dirigida para o centro da circunferência (no nosso caso, para o eixo de rotação da Terra).
- Relação entre velocidade tangencial
e velocidade angular: . A partir de chega-se à forma . - No referencial inercial, a aceleração de um corpo que acompanha a rotação é justamente essa aceleração centrípeta (resultado geométrico do movimento circular). Forças (como a tensão do fio e a gravidade) ajustam-se de modo que o corpo tenha esse valor de aceleração resultante.
- Se o fio rompe e não há outras forças além da gravidade (ar despresado), então a aceleração do corpo no referencial inercial é a aceleração gravitacional local (ou seja,
, com magnitude aproximadamente e direção radial para o centro da Terra).
Passo 3
Cálculo numérico da velocidade angular
:
Passo 4
Cálculo da aceleração centrípeta (caso a esfera esteja em repouso no laboratório — parte (a)):
- No equador o raio do círculo descrito pela esfera em torno do eixo é praticamente
. Assim
- Substituindo os valores:
- Interpretação: esse é o módulo da aceleração da esfera no referencial inercial enquanto ela gira com a Terra. A direção dessa aceleração é horizontal, apontando para o eixo de rotação da Terra (isto é, dirigida para o “centro” da curva descrita pela esfera em torno do eixo, não diretamente para o centro da Terra).
Passo 5
Discussão física curta para fixar a ideia (ajuda para a prova):
- Mesmo estando “em repouso” no laboratório, a esfera no referencial inercial está em movimento circular e, portanto, tem aceleração não-nula: a aceleração centrípeta calculada acima.
- A gravidade atua também, mas a resultante das forças (tensão no fio mais componente da gravidade) fornece exatamente a aceleração centrípeta necessária. Não é preciso somar
com ; a aceleração real do corpo no referencial inercial é a aceleração de sua trajetória (centrípeta) enquanto preso. - Se o fio rompe, a única força remanescente (desprezando o ar) é a força gravitacional; por Newton, a aceleração do corpo é então a aceleração gravitacional local.
Passo 6
Cálculo para o caso (b) — após o fio romper:
- No referencial inercial, depois que o fio se rompe e sem resistência do ar, a aceleração da esfera é simplesmente a aceleração da gravidade:
- Direção: radial, apontando para o centro da Terra.
- Observação adicional (útil para prova, não pedida mas didática): no instante do rompimento a esfera tem uma velocidade tangencial
(ou seja, cerca de ), mas isso afeta a trajetória subsequente (uma parábola em relação ao laboratório se desenhar) — não altera a aceleração, que é apenas .
Resposta
(a)
, direção horizontal apontando para o eixo de rotação da Terra.\n
(b) , direção radial apontando para o centro da Terra.
(b)