Questão 5. Qual é o efeito da rotação da Terra (em relação ao próprio eixo) sobre a aceleração dos corpos? Considere um laboratório situado ao nível do mar e próximo ao equador no qual há uma pequena esfera suspensa por um fio. Em relação a um referencial inercial, determine, \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} :
(a) A aceleração da esfera quando ela está em repouso em relação ao laboratório.
(b) A aceleração da esfera quando o fio se rompe e a esfera começa a cair (desconsidere as interações com o ar).

Passo 1

O enunciado pede que eu estime o efeito da rotação da Terra sobre a aceleração de uma pequena esfera situada num laboratório ao nível do mar e próximo ao equador. Especificamente, são pedidas duas coisas (em relação a um referencial inercial, unidades \mathrm{m/s^{2}}):
  • (a) a aceleração da esfera enquanto ela está em repouso relativo ao laboratório (ou seja, presa ao fio e acompanhando a rotação da Terra);
  • (b) a aceleração da esfera imediatamente após o fio romper, desprezando resistência do ar.
Informações/valores que vou usar (valores padrão conhecidos):
  • Período de rotação da Terra T = 24\cdot 3600\\ \mathrm{s} = 86400\\ \mathrm{s}.
  • Velocidade angular da rotação terrestre \displaystyle \omega = \frac{2\pi}{T}.
  • Raio aproximado da Terra ao nível do mar \displaystyle R = 6,37\times 10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade próxima à superfície (valor habitual) \displaystyle g \approx 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Conceito físico necessário (passo-a-passo bem didático):
  • Um ponto do equador descreve, no referencial inercial, um movimento circular uniforme em torno do eixo de rotação da Terra. Para qualquer movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular \omega a aceleração do ponto (aceleração centrípeta) tem magnitude
a_{\text{c}}=\omega^{2} r,
e está dirigida para o centro da circunferência (no nosso caso, para o eixo de rotação da Terra).
  • Relação entre velocidade tangencial v e velocidade angular: \displaystyle v=\omega r. A partir de a=v^{2}/r chega-se à forma a=\omega^{2}r.
  • No referencial inercial, a aceleração de um corpo que acompanha a rotação é justamente essa aceleração centrípeta (resultado geométrico do movimento circular). Forças (como a tensão do fio e a gravidade) ajustam-se de modo que o corpo tenha esse valor de aceleração resultante.
  • Se o fio rompe e não há outras forças além da gravidade (ar despresado), então a aceleração do corpo no referencial inercial é a aceleração gravitacional local (ou seja, \mathbf{a}=\mathbf{g}, com magnitude aproximadamente g e direção radial para o centro da Terra).

Passo 3

Cálculo numérico da velocidade angular \omega:
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{86400\\ \mathrm{s}}\approx 7{,}2722\times 10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Cálculo da aceleração centrípeta (caso a esfera esteja em repouso no laboratório — parte (a)):
  • No equador o raio do círculo descrito pela esfera em torno do eixo é praticamente r=R. Assim
a_{\text{(a)}}=\omega^{2}R.
  • Substituindo os valores:
\omega^{2}\approx\left(7{,}2722\times 10^{-5}\right)^{2}\approx 5{,}29\times 10^{-9}\\ \mathrm{s^{-2}},
a_{\text{(a)}}\approx 5{,}29\times 10^{-9}\times 6{,}37\times 10^{6}\\ \mathrm{m/s^{2}} \approx 0{,}034\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Interpretação: esse é o módulo da aceleração da esfera no referencial inercial enquanto ela gira com a Terra. A direção dessa aceleração é horizontal, apontando para o eixo de rotação da Terra (isto é, dirigida para o “centro” da curva descrita pela esfera em torno do eixo, não diretamente para o centro da Terra).

Passo 5

Discussão física curta para fixar a ideia (ajuda para a prova):
  • Mesmo estando “em repouso” no laboratório, a esfera no referencial inercial está em movimento circular e, portanto, tem aceleração não-nula: a aceleração centrípeta calculada acima.
  • A gravidade atua também, mas a resultante das forças (tensão no fio mais componente da gravidade) fornece exatamente a aceleração centrípeta necessária. Não é preciso somar g com a_{\text{c}}; a aceleração real do corpo no referencial inercial é a aceleração de sua trajetória (centrípeta) enquanto preso.
  • Se o fio rompe, a única força remanescente (desprezando o ar) é a força gravitacional; por Newton, a aceleração do corpo é então a aceleração gravitacional local.

Passo 6

Cálculo para o caso (b) — após o fio romper:
  • No referencial inercial, depois que o fio se rompe e sem resistência do ar, a aceleração da esfera é simplesmente a aceleração da gravidade:
a_{\text{(b)}} = g \approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Direção: radial, apontando para o centro da Terra.
  • Observação adicional (útil para prova, não pedida mas didática): no instante do rompimento a esfera tem uma velocidade tangencial \displaystyle v=\omega R\approx 4{,}64\times 10^{2}\\ \mathrm{m/s} (ou seja, cerca de 463\\ \mathrm{m/s}), mas isso afeta a trajetória subsequente (uma parábola em relação ao laboratório se desenhar) — não altera a aceleração, que é apenas \mathbf{g}.

Resposta

(a) a=\omega^{2}R\approx 0{,}034\\ \mathrm{m/s^{2}}, direção horizontal apontando para o eixo de rotação da Terra.\n
(b) a=g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, direção radial apontando para o centro da Terra.

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