Mostre que o campo elétrico devido a uma casca cilíndrica de comprimento infinito e raio R\) carregada uniformemente e apresentando uma densidade superficial de carga \(\sigma\) é expresso por \[E_{r}= \begin{cases}0, & \text { para } r<R \\\ \frac{\sigma R}{\varepsilon_{0} r}=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r}, & \text { para } r>R\end{cases}
em que (\lambda=2 \pi R \sigma] é a carga por unidade de comprimento da casca.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo elétrico radial E_{r}\) gerado por uma casca cilíndrica infinita de raio \(R\) com densidade superficial de carga \(\sigma\) é \[E_{r}= \begin{cases}0, & \text{para } r<R,\\[4pt] \dfrac{\sigma R}{\varepsilon_{0} r}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0} r}, & \text{para } r>R, \end{cases}
onde foi dada a relação \lambda=2\pi R \sigma\] entre a carga por unidade de comprimento \(\lambda e \sigma.
Informações fornecidas:
  • Raio da casca: R.
  • Casca infinita (no sentido do eixo z).
  • Densidade superficial de carga: \sigma (carga por unidade de área sobre a superfície cilindrica).
  • Relação fornecida: \lambda=2\pi R \sigma (carga por unidade de comprimento).
  • Queremos E_{r} como função de r (distância radial ao eixo) para r<R e r>R.]

Passo 2

Vamos escolher o método: usar a Lei de Gauss (é o jeito mais simples aqui, por causa da simetria). Primeiro, o que diz a Lei de Gauss?
A Lei de Gauss em forma integral é
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico,
  • d\mathbf{A} é o vetor área (módulo = área do elemento, direção normal à superfície),
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo,
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida no volume delimitado pela superfície fechada \mathcal{S}.
Explicando com calma: o lado esquerdo é o fluxo elétrico através da superfície fechada; o lado direito diz que esse fluxo é proporcional à carga que está dentro da superfície. Para aproveitarmos isso precisamos escolher uma superfície gaussiana que torne o cálculo simples — usamos a simetria.
Simetria do problema:
  • A casca é infinita e uniforme ao longo do eixo, então o campo elétrico deve ser radial (apontar para fora ou para dentro), depender somente de r (a distância ao eixo), e não depende do ângulo azimutal nem da coordenada z.
  • Portanto, uma superfície gaussiana conveniente é um cilindro coaxial de raio r e comprimento L. Vou definir:
    • r: raio do cilindro gaussiano (variável; avaliaremos os dois casos r<R e r>R),
    • L: comprimento arbitrário do cilindro (positivo), usado para calcular carga total contida; ao final L cancela.
  • Vetor área da superfície lateral tem direção radial; as tampas (discos nas extremidades) têm vetor área paralelo ao eixo z.

Passo 3

Calcular o fluxo através da superfície gaussiana (cilindro coaxial de raio r e comprimento L).
Como \mathbf{E} é radial e uniforme sobre a superfície lateral (mesmo valor em todos os pontos a mesma distância r), o fluxo pela superfície lateral é
\Phi_{\text{lateral}} = E(r)\cdot (\text{área lateral}) = E(r)\cdot (2\pi r L).á
Nas tampas (discos nas extremidades) o vetor área é paralelo ao eixo z, enquanto \mathbf{E} é radial (perpendicular a z), então
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0
nas tampas e, portanto, não contribuem para o fluxo. Logo o fluxo total é apenas o da lateral:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 2\pi r L.

Passo 4

Caso r<R (ponto dentro da casca): carga encerrada pela superfície gaussiana.
A casca possui carga apenas na superfície de raio R. Se escolhemos r<R, o cilindro gaussiano está inteiramente dentro do material vazio interno da casca e não corta a superfície carregada. Assim a carga total dentro do cilindro é
Q_{\text{int}}=0.
Aplicando a Lei de Gauss:
E(r)\cdot 2\pi r L=\frac{0}{\varepsilon_{0}}=0.
Como 2\pi r L\neq 0 para r>0 e L>0, obtemos
E(r)=0\quad\text{para } r<R.
Interpretação física simples: dentro de uma casca cilíndrica de carga superficial, os efeitos das porções carregadas se cancelam e o campo resultante é nulo.

Passo 5

Caso r>R (ponto fora da casca): carga encerrada e cálculo de E(r).
Agora o cilindro gaussiano inclui toda a casca ao longo do comprimento L. A carga total contida é a densidade superficial vezes a área da casca interceptada pelo cilindro (área lateral da casca de comprimento L):
Q_{\text{int}}=\sigma \times (\text{área lateral da casca de comprimento }L)=\sigma\cdot(2\pi R L).á
Também podemos escrever Q_{\text{int}}=\lambda L onde \lambda é a carga por unidade de comprimento; essa relação é
\lambda = 2\pi R \sigma,
como informado no enunciado.
Aplicando a Lei de Gauss:
E(r)\cdot 2\pi r L=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}=\frac{\sigma\cdot 2\pi R L}{\varepsilon_{0}}.
Agora isolamos E(r):
E(r)=\frac{\sigma\cdot 2\pi R L}{\varepsilon_{0}\cdot 2\pi r L}=\frac{\sigma R}{\varepsilon_{0} r}.
Substituindo \lambda=2\pi R \sigma obtemos a forma equivalente
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0} r}.
Portanto
E(r)=\frac{\sigma R}{\varepsilon_{0} r}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0} r}\quad\text{para } r>R.

Passo 6

Direção e comentário final:
  • O campo é radial, apontando para fora se \sigma>0 e para dentro se \sigma<0.
  • Observação sobre a fronteira r=R: o campo interno é zero e o campo imediatamente fora vale
E(R^+)=\frac{\sigma R}{\varepsilon_{0} R}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}},
mostrando o salto esperado na componente normal do campo devido à presença de carga superficial (salto igual a \sigma/\varepsilon_{0}).
Força-te um pouco: a ideia chave é usar simetria para escolher a superfície gaussiana que transforma a Lei de Gauss numa conta simples de dividir por uma área lateral. Tá feito — agora é só decorar a estratégia!

Resposta

E_{r}= \begin{cases}0, & \text{para } r<R,\\[4pt] \dfrac{\sigma R}{\varepsilon_{0} r}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0} r}, & \text{para } r>R.\end{cases}]

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