Mostre que o campo elétrico devido a uma casca cilíndrica de comprimento infinito e raio
em que (\lambda=2 \pi R \sigma] é a carga por unidade de comprimento da casca.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo elétrico radial
onde foi dada a relação
e
.
Informações fornecidas:
- Raio da casca:
. - Casca infinita (no sentido do eixo
). - Densidade superficial de carga:
(carga por unidade de área sobre a superfície cilindrica). - Relação fornecida:
(carga por unidade de comprimento). - Queremos
como função de (distância radial ao eixo) para e .]
Passo 2
Vamos escolher o método: usar a Lei de Gauss (é o jeito mais simples aqui, por causa da simetria). Primeiro, o que diz a Lei de Gauss?
A Lei de Gauss em forma integral é
onde:
-
é o campo elétrico, -
é o vetor área (módulo = área do elemento, direção normal à superfície), -
é a permissividade do vácuo, -
é a carga total contida no volume delimitado pela superfície fechada .
Explicando com calma: o lado esquerdo é o fluxo elétrico através da superfície fechada; o lado direito diz que esse fluxo é proporcional à carga que está dentro da superfície. Para aproveitarmos isso precisamos escolher uma superfície gaussiana que torne o cálculo simples — usamos a simetria.
Simetria do problema:
- A casca é infinita e uniforme ao longo do eixo, então o campo elétrico deve ser radial (apontar para fora ou para dentro), depender somente de
(a distância ao eixo), e não depende do ângulo azimutal nem da coordenada . - Portanto, uma superfície gaussiana conveniente é um cilindro coaxial de raio
e comprimento . Vou definir: -
: raio do cilindro gaussiano (variável; avaliaremos os dois casos e ), -
: comprimento arbitrário do cilindro (positivo), usado para calcular carga total contida; ao final cancela.
-
- Vetor área da superfície lateral tem direção radial; as tampas (discos nas extremidades) têm vetor área paralelo ao eixo
.
Passo 3
Calcular o fluxo através da superfície gaussiana (cilindro coaxial de raio
e comprimento
).
Como
é radial e uniforme sobre a superfície lateral (mesmo valor em todos os pontos a mesma distância
), o fluxo pela superfície lateral é
Nas tampas (discos nas extremidades) o vetor área é paralelo ao eixo
, enquanto
é radial (perpendicular a
), então
nas tampas e, portanto, não contribuem para o fluxo. Logo o fluxo total é apenas o da lateral:
Passo 4
Caso
(ponto dentro da casca): carga encerrada pela superfície gaussiana.
A casca possui carga apenas na superfície de raio
. Se escolhemos
, o cilindro gaussiano está inteiramente dentro do material vazio interno da casca e não corta a superfície carregada. Assim a carga total dentro do cilindro é
Aplicando a Lei de Gauss:
Como
para
e
, obtemos
Interpretação física simples: dentro de uma casca cilíndrica de carga superficial, os efeitos das porções carregadas se cancelam e o campo resultante é nulo.
Passo 5
Caso
(ponto fora da casca): carga encerrada e cálculo de
.
Agora o cilindro gaussiano inclui toda a casca ao longo do comprimento
. A carga total contida é a densidade superficial vezes a área da casca interceptada pelo cilindro (área lateral da casca de comprimento
):
Também podemos escrever
onde
é a carga por unidade de comprimento; essa relação é
como informado no enunciado.
Aplicando a Lei de Gauss:
Agora isolamos
:
Substituindo
obtemos a forma equivalente
Portanto
Passo 6
Direção e comentário final:
- O campo é radial, apontando para fora se
e para dentro se . - Observação sobre a fronteira
: o campo interno é zero e o campo imediatamente fora vale
mostrando o salto esperado na componente normal do campo devido à presença de carga superficial (salto igual a
).
Força-te um pouco: a ideia chave é usar simetria para escolher a superfície gaussiana que transforma a Lei de Gauss numa conta simples de dividir por uma área lateral. Tá feito — agora é só decorar a estratégia!