a) (2,0 pt) Resolva o sistema pelo método do escalonamento para ( \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}\] ) (em hectares)
b) \((1,0 \mathrm{pt}) Classifique o sistema quanto ao número de soluções.
c) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Interprete o resultado no contexto da engenharia florestal.
Passo 1
O enunciado pede para distribuir 120 ha entre Eucalipto (x), Paricá (y) e Teca (z) de modo a obter um volume total de 2400 m³ e não ultrapassar 300 h de preparo do solo. Modelamos isso pelo sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 120,\\\\ 20x + 15y + 25z = 2400,\\\\ 4x + y + 2z = 300. \end{cases}
O método que vamos usar é o de escalonamento (eliminação de Gauss).
Passo 2
Para eliminar x, subtraímos 20 × (1) de (2):
-5y + 5z = 0.
Dividindo por 5:
-y + z = 0.
Em seguida, subtraímos 4 × (1) de (3):
-3y - 2z = -180.
Multiplicando por -1:
3y + 2z = 180.
Passo 3
Da equação -y + z = 0 segue
z = y.
Substituindo em 3y + 2z = 180:
3y + 2y = 180,
5y = 180,
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y = 36, \quad z = 36.
Passo 4
Voltando à equação (1),
x + y + z = 120,
substituindo y=36 e z=36:
x + 36 + 36 = 120 \quad\Longrightarrow\quad x = 48.
Passo 5
O sistema admitiu exatamente uma solução, portanto é um sistema possível e determinado (SPD).
No contexto florestal, a solução indica que devemos plantar 48 ha de eucalipto, 36 ha de paricá e 36 ha de teca, obtendo 2400 m³ de madeira e usando exatamente 300 h de preparo do solo.
Resposta
a) (x,y,z) = (48,\,36,\,36) hectares
b) Sistema possível e determinado
c) Destinar 48 ha a eucalipto, 36 ha a paricá e 36 ha a teca.