Questão 1 - Uma fazenda pretende distribuir 120 ha entre três espécies: Eucalipto (x), Paricá (y) e Teca (z).
  • Produtividades previstas: Eucalipto [20 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{ha}), Paricá 15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{ha}, Teca 25 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{ha}.
  • Volume total almejado na colheita: \mathbf{2 . 4 0 0} \mathbf{~ m}^{\mathbf{3}}.
  • Horas de preparo de solo por hectare: Eucalipto 4 h/ha, Paricá 1 h/ha, Teca 2 h/ha.
  • Total disponível de horas de preparo: \mathbf{3 0 0} \mathbf{h}.

Modelagem do Sistema Linear

\begin{cases}x+y+z=120 & \text { (área total) } \\\\ 20 x+15 y+25 z=2400 & \text { (volume total) } \\\\ 4 x+y+2 z=300 & \text { (horas de preparo) }\end{cases}á
a) (2,0 pt) Resolva o sistema pelo método do escalonamento para ( \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}\] ) (em hectares) b) \((1,0 \mathrm{pt}) Classifique o sistema quanto ao número de soluções.
c) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Interprete o resultado no contexto da engenharia florestal.

Passo 1

O enunciado pede para distribuir 120 ha entre Eucalipto ( x), Paricá ( y) e Teca ( z) de modo a obter um volume total de 2400 m³ e não ultrapassar 300 h de preparo do solo. Modelamos isso pelo sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 120,\\\\ 20x + 15y + 25z = 2400,\\\\ 4x + y + 2z = 300. \end{cases}
O método que vamos usar é o de escalonamento (eliminação de Gauss).

Passo 2

Para eliminar x, subtraímos 20 × (1) de (2):
-5y + 5z = 0.
Dividindo por 5:
-y + z = 0.
Em seguida, subtraímos 4 × (1) de (3):
-3y - 2z = -180.
Multiplicando por -1:
3y + 2z = 180.

Passo 3

Da equação -y + z = 0 segue
z = y.
Substituindo em 3y + 2z = 180:
3y + 2y = 180,
5y = 180,
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y = 36, \quad z = 36.

Passo 4

Voltando à equação (1),
x + y + z = 120,
substituindo y=36 e z=36:
x + 36 + 36 = 120 \quad\Longrightarrow\quad x = 48.

Passo 5

O sistema admitiu exatamente uma solução, portanto é um sistema possível e determinado (SPD).
No contexto florestal, a solução indica que devemos plantar 48 ha de eucalipto, 36 ha de paricá e 36 ha de teca, obtendo 2400 m³ de madeira e usando exatamente 300 h de preparo do solo.

Resposta

a) (x,y,z) = (48,\,36,\,36) hectares
b) Sistema possível e determinado
c) Destinar 48 ha a eucalipto, 36 ha a paricá e 36 ha a teca.

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