Questão 1: Seja \mathbb{R} o conjunto dos números reais. Definamos a soma e a multiplicação por escalar em \mathbb{R} por
\begin{gathered} u \oplus v=u v \\\ \alpha \odot u=\alpha+u \end{gathered}
. Verifique se \mathbb{R} é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R} a “soma”
u\oplus v = u\,v
e a “multiplicação por escalar”
\alpha\odot u = \alpha + u.
Para que \mathbb{R} seja espaço vetorial, primeiramente (\mathbb{R},\oplus) deve ser um grupo abeliano. Vamos checar isso.

Passo 2

Verificamos as propriedades de grupo abeliano para (\mathbb{R},\oplus):
  1. Fechamento. Se u,v\in\mathbb{R}, então u\oplus v = uv\in\mathbb{R}.
  2. Associatividade. Como a multiplicação usual é associativa,
(u\oplus v)\oplus w = (uv)\,w = u\,(v w) = u\oplus(v\oplus w).
  1. Comutatividade. Como uv = vu, temos u\oplus v = v\oplus u.
  2. Elemento neutro. Deve existir e\in\mathbb{R} tal que u\oplus e = u para todo u. Da equação
u\,e = u,
vem e=1. Logo o neutro aditivo é 1.

Passo 3

Para ser grupo, cada u\in\mathbb{R} precisa de um inverso w tal que
u\oplus w = 1,\quad\text{i.e.}\quad u\,w = 1\quad\Longrightarrow\quad w = \frac1u.
Isto funciona para todo u\neq0, mas para u=0 não existe número real w com 0\cdot w=1. Logo não há inverso aditivo de 0 em (\mathbb{R},\oplus).

Passo 4

Como (\mathbb{R},\oplus) não é sequer um grupo (falta inverso para u=0), todos os axiomas de espaço vetorial falham. Portanto não faz sentido continuar checando distribuição e demais propriedades: já não é espaço vetorial.

Resposta

\mathbb{R} com \oplus e \odot dados não forma um espaço vetorial.

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