Questão 1: Seja
o conjunto dos números reais. Definamos a soma e a multiplicação por escalar em
por
. Verifique se
é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.
Passo 1
O enunciado define em
a “soma”
e a “multiplicação por escalar”
Para que
seja espaço vetorial, primeiramente
deve ser um grupo abeliano. Vamos checar isso.
Passo 2
Verificamos as propriedades de grupo abeliano para
:
- Fechamento. Se
, então . - Associatividade. Como a multiplicação usual é associativa,
- Comutatividade. Como
, temos . - Elemento neutro. Deve existir
tal que para todo . Da equação
vem
. Logo o neutro aditivo é
.
Passo 3
Para ser grupo, cada
precisa de um inverso
tal que
Isto funciona para todo
, mas para
não existe número real
com
. Logo não há inverso aditivo de
em
.
Passo 4
Como
não é sequer um grupo (falta inverso para
), todos os axiomas de espaço vetorial falham. Portanto não faz sentido continuar checando distribuição e demais propriedades: já não é espaço vetorial.