Questão 1. Encontrar a primitiva F(x); para a função f(x), tal que:
f(x)=x^3 cos (x^2) e F(0)=32.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=x^3cos(x^2) tal que F(0)=32. Vamos usar técnicas de substituição e integração por partes.

Passo 2

Para simplificar a integral integral x^3cos(x^2),dx, fazemos a substituição u=x^2, então du=2x,dx. Logo, x^3,dx=x^2cdot x,dx=udu2 e
integral x^3cos(x^2),dx = 12integral ucos u,du

Passo 3

Para integral ucos u,du, aplicamos integração por partes. Tomamos a=u e db=cos u,du, assim da=du e b=sin u. Pela fórmula integral a,db = a b - integral b,da,
integral ucos u,du = usin u - integral sin u,du = usin u + cos u + C

Passo 4

Voltando a x, obtemos
integral x^3cos(x^2),dx = 12l(x^2sin(x^2) + cos(x^2)r) + C,
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F(x)=12x^2sin(x^2) + 12cos(x^2) + C

Passo 5

Usando a condição F(0)=tfrac32, temos
F(0)=12cdot0^2sin0 + 12cos0 + C = 12 + C = 32, o que implica C=1.

Resposta

F(x)=12x^2sin(x^2) + 12cos(x^2) + 1

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