Questão 2
Encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial :
x y^prime prime+(x+2) y^prime+y=0
sabendo que y1=1x é uma solução particular da equação.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x,y'' + (x+2),y' + y = 0
sabendo que y1(x)=1/x é uma solução particular. O conteúdo aqui é redução de ordem para equações lineares de segunda ordem.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0
dividindo tudo por x:
y'' + x+2x,y' + 1x,y = 0
Logo
P(x)=1+2x, Q(x)=1x

Passo 3

Aplicamos a fórmula de redução de ordem para encontrar a segunda solução
y2 = y1(x)integral e^-integral P(x),dxy1(x)^2,dx
Calculamos primeiro
integral P(x),dx = integrall(1+2xr),dx = x + 2ln x,
então
e^-integral P,dx = e^-x,x^-2

Passo 4

O integrando fica
e^-x,x^-2(1/x^2) = e^-x,
e
integral e^-x,dx = -e^-x
Assim
y2 = 1xl(-e^-xr),
e podemos escolher
y2(x)=e^-xx

Passo 5

A solução geral da equação é
y = C1,y1 + C2,y2 = C1x + C2,e^-xx

Resposta

y = C1x + C2,e^-xx

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