Questão 3
Encontrar uma solução particular da seguinte equação diferencial :
x^2 y^prime prime-x(x+2) y^prime+(x+2) y=2 x^3
sabendo que y1(x)=x e y2(x)=x e^x para x>0, são soluções da equação homogénea associada.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular de
x^2y''-x(x+2)y'+(x+2)y=2x^3,
sabendo que as soluções da homogênea são y1(x)=x e y2(x)=x e^x. O método mais direto aqui é o de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)
Dividindo tudo por x^2 (válido para x>0) obtemos
y''-x+2xy'+x+2x^2y=2x
Logo
P(x)=-x+2x, Q(x)=x+2x^2, R(x)=2x

Passo 3

No método de variação de parâmetros buscamos
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)
com as condições auxiliares
u1'(x)y1(x)+u2'(x)y2(x)=0, u1'(x)y1'(x)+u2'(x)y2'(x)=R(x)
Precisamos do Wronskiano
W(x)= y1&y2 y1'&y2' = x & x e^x 1 & e^x(x+1) = xcdot e^x(x+1)-x e^xcdot1 = x^2e^x

Passo 4

As fórmulas são
u1'=-y2,RW, u2'=y1,RW
Substituindo y1=x, y2=x e^x, R=2x e W=x^2e^x, dá
u1'=-x e^xcdot2xx^2e^x=-2, u2'=xcdot2xx^2e^x=2e^-x
Integrando,
u1(x)=integral -2,dx=-2x, u2(x)=integral 2e^-x,dx=-2e^-x

Passo 5

Agora montamos
yp=u1y1+u2y2=(-2x)cdot x+(-2e^-x)cdot(xe^x) =-2x^2-2x

Resposta

Uma solução particular é
yp(x)=-2x^2-2x

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