Questão. Encontre o centro de massa do pedaço da esfera no primeiro octante. Para isso, considere uma densidade de massa homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar o centro de massa de um pedaço de esfera no primeiro octante. A matéria envolvida aqui é o cálculo de centro de massa para objetos tridimensionais com densidade homogênea. Para resolver, vamos precisar usar integrais em coordenadas esféricas, já que estamos lidando com uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa de um objeto com densidade M = integral dV homogênea é dado por:
onde é a massa total do objeto:
Passo 3
Como a densidade é homogênea, podemos considerar x = r sinphi costheta, y = r sinphi sintheta, z = r cosphi para simplificar os cálculos, já que ela se cancela nas equações. O primeiro octante significa que dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta , e são todos positivos. Vamos usar coordenadas esféricas, onde:
e o elemento de volume é:
Passo 4
Os limites de integração para o primeiro octante são:
r in [0, R], phi in [0, pi2], theta in [0, pi2]
onde é o raio da esfera.
Passo 5
Vamos calcular a massa total M = integral0^R integral0^pi2 integral0^pi2 r^2 sinphi , dtheta , dphi , dr :
integral0^pi2 dtheta = pi2
Integrando em integral0^pi2 sinphi , dphi = 1 :
integral0^R r^2 , dr = R^33
Em M = pi2 times 1 times R^33 = pi R^36 :
E em :
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular x = 1M integral x , dV = 6pi R^3 integral0^R integral0^pi2 integral0^pi2 r sinphi costheta cdot r^2 sinphi , dtheta , dphi , dr . Devido à simetria, sabemos que x = 6pi R^3 integral0^R r^3 , dr integral0^pi2 sin^2phi , dphi integral0^pi2 costheta , dtheta , mas vamos calcular integral0^R r^3 , dr = R^44 para confirmar.
integral0^pi2 sin^2phi , dphi = pi4
Simplificando:
integral0^pi2 costheta , dtheta = 1
Calculando as integrais:
x = 6pi R^3 times R^44 times pi4 times 1 = 6 R16 = 3R8
Então,
Resposta
O centro de massa do pedaço da esfera no primeiro octante é .