^a Questão. Seja S a superfície plana cuja fronteira é o triângulo com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1), e seja F(x, y, z)=x i+y j+z k. Seja n o vetor normal a S tendo a componente z negativa. Calcule a integral integral duplaS F cdot n d S com:
S : da forma z=f(x, y).

Passo 1

O exercício pede calcular o fluxo integral duplaS vec F cdot hat n , dS da campo vec F(x,y,z) = x,hat i + y,hat j + z,hat k através da superfície plana S cujo contorno é o triângulo de vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). A orientação exige que a componente z de hat n seja negativa. Vamos usar a descrição de S como gráfico de uma função z=f(x,y) e a fórmula de fluxo para superfícies parametrizadas.

Passo 2

Identificamos a equação do plano que contém os três pontos. Como ele passa por (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), podemos escrever
z = 1 - x - y
O domínio de projeção no plano xy é
D = (x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1

Passo 3

Para uma superfície dada por z=f(x,y), a área orientada com normal unitário pode ser escrita (antes da normalização) como
hat n,dS = pm(-fx,,-fy,,1),dA
Queremos que hat nz<0, então escolhemos o sinal “-” e obtemos
hat n,dS = (fx,;fy,;-1),dA
Assim,
vec Fcdothat n,dS = vec Fcdot(fx, fy, -1),dA

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=1-x-y:
fx = -1, fy = -1
Logo
hat n,dS = (-1, -1, -1),dA

Passo 5

Substituímos vec F(x,y,z)=(x,y,z) com z=1-x-y e fazemos o produto escalar:
vec Fcdothat n,dS = (x,y,1-x-y)cdot(-1,-1,-1),dA = -x - y - (1-x-y),dA = -1,dA

Passo 6

Agora é só integrar sobre o domínio D. Como o integrando é constante,
integral duplaS vec Fcdothat n,dS = integral duplaD (-1),dA = -Área(D) = -12 Á

Resposta

-\tfrac12

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