Questão. Seja
a superfície plana cuja fronteira é o triângulo com vértices
e
, e seja
. Seja
o vetor normal a
tendo a componente
negativa. Calcule a integral
com:
: da forma
.
Passo 1
O exercício pede calcular o fluxo
da campo
através da superfície plana
cujo contorno é o triângulo de vértices
,
e
. A orientação exige que a componente
de
seja negativa. Vamos usar a descrição de
como gráfico de uma função
e a fórmula de fluxo para superfícies parametrizadas.
Passo 2
Identificamos a equação do plano que contém os três pontos. Como ele passa por
,
e
, podemos escrever
O domínio de projeção no plano
Passo 3
Para uma superfície dada por
, a área orientada com normal unitário pode ser escrita (antes da normalização) como
Queremos que
Assim,
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
:
Logo
Passo 5
Substituímos
com
e fazemos o produto escalar:
Passo 6
Agora é só integrar sobre o domínio
. Como o integrando é constante,
Resposta
-\tfrac12