Questão 9. Encontre as constantes a, b, c, d in R tais que o gráfico da função f(x)=a x^3+b x^2+c x+d passe pelos pontos (-1,5),(0,1),(1,1) e (2,11).

Passo 1

O enunciado pede para determinar as constantes a,b,c,dinR de um polinômio cúbico
f(x)=a x^3+b x^2+c x+d
de modo que o gráfico de f passe pelos pontos (-1,5), (0,1), (1,1) e (2,11).
Para resolver, vamos montar um sistema linear com quatro equações (uma para cada ponto) e quatro incógnitas.

Passo 2

Substituindo cada ponto em f(x)=a x^3+b x^2+c x+d, obtemos o sistema
-a + b - c + d = 5, -0 +0 +0 + d = 1, -a + b + c + d = 1, 8a +4b +2c + d = 11

Passo 3

Da segunda equação temos imediatamente
d=1

Passo 4

Substituindo d=1 nas outras três equações:
-a + b - c = 5 - 1 = 4, a + b + c = 1 - 1 = 0, 8a +4b +2c = 11 - 1 = 10
Podemos simplificar a terceira dividindo por 2:
4a +2b + c = 5

Passo 5

Denotando-as por
(1)&;-a + b - c = 4, (2)&; a + b + c = 0, (3)&;4a +2b + c = 5,
somamos (1) e (2) para eliminar a e c:
(-a + b - c) + (a + b + c) = 4 + 0 ;Longrightarrow; 2b = 4 ;Longrightarrow; b = 2

Passo 6

Com b=2, a equação (2) vira
a + 2 + c = 0 ;Longrightarrow; c = -2 - a
Substituindo b=2 e c=-2-a na equação (3):
4a +2cdot2 + (-2 - a) = 5 ;Longrightarrow; 4a +4 -2 -a = 5 ;Longrightarrow; 3a +2 =5 ;Longrightarrow; a=1
Então
c = -2 - 1 = -3

Resposta

a=1, b=2, c=-3, d=1.

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