• Questão 9: Encontre as coordenadas de:
    p(x)=2+x-x^2 em relação à base 1+x, 1+x^2, x+x^2 de P2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas do polinômio p(x)=2+x-x^2 em relação à base
,1+x,;1+x^2,;x+x^2 de P2.
Em outras palavras, queremos os escalares a, b e c tais que
p(x)=a(1+x)+b(1+x^2)+c(x+x^2)
Para isso vai ser preciso expandir a combinação linear, comparar coeficientes de 1, x e x^2 e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Começamos supondo
p(x)=a(1+x)+b(1+x^2)+c(x+x^2)
Expandindo o lado direito, temos
a(1+x)+b(1+x^2)+c(x+x^2) =(a+b)+(a+c)x+(b+c)x^2

Passo 3

Como p(x)=2+x-x^2, igualamos coeficientes de cada potência de x:
a+b=2, a+c=1, b+c=-1

Passo 4

Da primeira equação segue b=2-a.
Da segunda segue c=1-a.
Substituindo na terceira:
(2-a)+(1-a)=-1
3-2a=-1Longrightarrow a=2
Então b=2-2=0 e c=1-2=-1.

Resposta

As coordenadas de p(x) na base 1+x,,1+x^2,,x+x^2 são
(2,,0,,-1)

Exercícios relacionados