Problema
Verdadeiro Falso
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A questão pede para verificar se a integral
é verdadeira ou falsa. A gente vai precisar usar um pouco de cálculo, especificamente integração por substituição. Então, vamos passo a passo entender como calcular essa integral e ver se o resultado bate com
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. Basicamente, ela nos dá a área sob a curva de uma função entre dois pontos, nesse caso, de
até
. A função que estamos integrando aqui é
.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada substituição. A ideia é simplificar a integral escolhendo uma nova variável
que facilite o cálculo. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em termos de
. Primeiro, notamos que:
Sabemos que
(a partir da nossa substituição inicial). Então:
Substituindo
por
, temos:
Passo 5
Agora, vamos mudar os limites de integração para a variável
. Quando
:
E quando
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais:
Passo 7
Substituindo os resultados nas integrais e aplicando os limites de 0 a 1:
Calculando dentro do parênteses:
Então:
Resposta
Verdadeiro. A integral
realmente é igual a
.