Problema
integral0^1 x^3 raiz1-x^2 d x=215
Verdadeiro Falso

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A questão pede para verificar se a integral
integral0^1 x^3 raiz1-x^2 , dx = 215
é verdadeira ou falsa. A gente vai precisar usar um pouco de cálculo, especificamente integração por substituição. Então, vamos passo a passo entender como calcular essa integral e ver se o resultado bate com 215.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. Basicamente, ela nos dá a área sob a curva de uma função entre dois pontos, nesse caso, de x = 0 até x = 1. A função que estamos integrando aqui é x^3 raiz1 - x^2.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada substituição. A ideia é simplificar a integral escolhendo uma nova variável u que facilite o cálculo. Vamos definir:
u = 1 - x^2
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x:
dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx Rightarrow x , dx = -du2

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de u. Primeiro, notamos que:
x^3 raiz1 - x^2 , dx = x^2 cdot x cdot raizu , dx
Sabemos que x^2 = 1 - u (a partir da nossa substituição inicial). Então:
x^3 raiz1 - x^2 , dx = (1 - u) cdot x cdot raizu , dx
Substituindo x , dx por -du2, temos:
(1 - u) raizu cdot (-du2) = -12 (1 - u) u^1/2 , du

Passo 5

Agora, vamos mudar os limites de integração para a variável u. Quando x = 0:
u = 1 - (0)^2 = 1
E quando x = 1:
u = 1 - (1)^2 = 0
Então, a integral fica:
integral0^1 x^3 raiz1 - x^2 , dx = -12 integral1^0 (1 - u) u^1/2 , du = 12 integral0^1 (1 - u) u^1/2 , du

Passo 6

Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar:
12 ( integral0^1 u^1/2 , du - integral0^1 u^3/2 , du )
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais:
  1. integral u^1/2 , du = 23 u^3/2
  2. integral u^3/2 , du = 25 u^5/2

Passo 7

Substituindo os resultados nas integrais e aplicando os limites de 0 a 1:
12 ( [ 23 u^3/2 ]0^1 - [ 25 u^5/2 ]0^1 ) = 12 ( 23 - 25 )
Calculando dentro do parênteses:
23 - 25 = 1015 - 615 = 415
Então:
12 cdot 415 = 215

Resposta

Verdadeiro. A integral integral0^1 x^3 raiz1-x^2 , dx realmente é igual a 215.

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