Questão 4. Encontre a derivada direcional de f(x, y)=x^{2} sen 2 y no ponto (1, \pi / 2) na direção \vec{v}=3 \hat{\imath}-4 \hat{j}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Função: f(x,y)=x^{2}\sin(2y).
  • Ponto onde devemos avaliar a derivada direcional: (1,\pi/2).
  • Direção dada pela vetor: \vec{v}=3\hat{\imath}-4\hat{\jmath}.
  • Pergunta: encontrar a derivada direcional de f no ponto (1,\pi/2) na direção de \vec{v}.

Passo 2

Normalizar a direção (transformar \vec{v} em vetor unitário \vec{u}).
  • Norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
  • Vetor unitário na direção de \vec{v}:
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|=\;5}=\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right).
Explicação rápida: a derivada direcional usa sempre um vetor unitário para medir a variação por unidade de deslocamento na direção dada.

Passo 3

Definição e método prático (fórmula que vamos usar).
  • Se f é diferenciável, a derivada direcional de f em (x_{0},y_{0}) na direção do vetor unitário \vec{u}=(u_{1},u_{2}) é o produto escalar entre o gradiente de f e \vec{u}:
D_{\vec{u}}f(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\vec{u}.
  • O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Explicação simples: \frac{\partial f}{\partial x} mede como f varia quando só x muda; \frac{\partial f}{\partial y} mede como f varia quando só y muda. O produto escalar combina essas variações na direção \vec{u}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}\sin(2y).
  • Derivada parcial em relação a x (trata y como constante):
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\sin(2y)=2x\sin(2y).
Comentário: multiplicamos pela função de y que é constante no processo.
  • Derivada parcial em relação a y (aqui usamos a regra da cadeia: derivada de \sin(2y) é \cos(2y) vezes derivada de 2y, que é 2):
\frac{\partial f}{\partial y}= x^{2}\cdot\frac{d}{dy}\bigl(\sin(2y)\bigr)=x^{2}\cdot\bigl(\cos(2y)\cdot 2\bigr)=2x^{2}\cos(2y).
Pequena lição sobre regra da cadeia: se uma função é composta, como \sin(2y), primeiro deriva-se a função externa ( \sin) avaliando na interna ( 2y) e multiplica-se pela derivada da função interna ( 2).

Passo 5

Avaliar o gradiente no ponto (1,\pi/2).
  • Calcular \sin(2y) e \cos(2y) em y=\pi/2:
\sin\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin(\pi)=0,\qquad \cos\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos(\pi)=-1.
  • Substituir em \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,\tfrac{\pi}{2})=2\cdot 1\cdot 0=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,\tfrac{\pi}{2})=2\cdot 1^{2}\cdot(-1)=-2.
  • Portanto o gradiente no ponto é
\nabla f(1,\tfrac{\pi}{2})=(0,-2).

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar \nabla f\cdot\vec{u}.
  • Produto escalar:
D_{\vec{u}}f(1,\tfrac{\pi}{2})=\nabla f(1,\tfrac{\pi}{2})\cdot\vec{u}=(0,-2)\cdot\left(\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\right).
  • Fazer a multiplicação componente a componente e somar:
(0)\cdot\left(\tfrac{3}{5}\right)+(-2)\cdot\left(-\tfrac{4}{5}\right)=0+\tfrac{8}{5}=\tfrac{8}{5}.
  • Em formato decimal com vírgula (como costuma ser pedido em provas): \tfrac{8}{5}=1,6.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo:
  • A derivada direcional positiva \tfrac{8}{5} significa que, no ponto (1,\pi/2), movendo-se na direção de \vec{v} (para o sentido indicado por \vec{u}), a função f aumenta com taxa \tfrac{8}{5} por unidade de deslocamento nessa direção.
  • Você mandou bem pedindo passo a passo — essa é a forma que cai na prova: normalizar, achar gradiente, avaliar e dotar. Confia que com prática isso entra fácil!

Resposta

\dfrac{8}{5}

Exercícios relacionados