Questão 4. Encontre a derivada direcional de
sen
no ponto
na direção
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Função:
. - Ponto onde devemos avaliar a derivada direcional:
. - Direção dada pela vetor:
. - Pergunta: encontrar a derivada direcional de
no ponto na direção de .
Passo 2
Normalizar a direção (transformar
em vetor unitário
).
- Norma de
:
- Vetor unitário na direção de
:
Explicação rápida: a derivada direcional usa sempre um vetor unitário para medir a variação por unidade de deslocamento na direção dada.
Passo 3
Definição e método prático (fórmula que vamos usar).
- Se
é diferenciável, a derivada direcional de em na direção do vetor unitário é o produto escalar entre o gradiente de e :
- O gradiente
é o vetor das derivadas parciais:
Explicação simples:
mede como
varia quando só
muda;
mede como
varia quando só
muda. O produto escalar combina essas variações na direção
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
(trata como constante):
Comentário: multiplicamos pela função de
que é constante no processo.
- Derivada parcial em relação a
(aqui usamos a regra da cadeia: derivada de é vezes derivada de , que é ):
Pequena lição sobre regra da cadeia: se uma função é composta, como
, primeiro deriva-se a função externa (
) avaliando na interna (
) e multiplica-se pela derivada da função interna (
).
Passo 5
Avaliar o gradiente no ponto
.
- Calcular
e em :
- Substituir em
e :
- Portanto o gradiente no ponto é
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar
.
- Produto escalar:
- Fazer a multiplicação componente a componente e somar:
- Em formato decimal com vírgula (como costuma ser pedido em provas):
.
Passo 7
Interpretação curta e incentivo:
- A derivada direcional positiva
significa que, no ponto , movendo-se na direção de (para o sentido indicado por ), a função aumenta com taxa por unidade de deslocamento nessa direção. - Você mandou bem pedindo passo a passo — essa é a forma que cai na prova: normalizar, achar gradiente, avaliar e dotar. Confia que com prática isso entra fácil!