Explicando de maneira simples: cada componente do gradiente diz como a função muda quando mexemos só numa das variáveis, mantendo a outra fixa.
Regras de diferenciação que usaremos (lembrando o que cada símbolo significa):
Derivada de \ln x em relação a x é \dfrac{1}{x}.
Ao calcular \dfrac{\partial}{\partial x} de uma expressão que contém y, tratamos y como constante (e vice‑versa).
Derivada de x y^{2} em relação a x: y^{2} é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=y^{2}.
Derivada de y\ln x em relação a x: y é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(y\ln x)=y\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{y}{x}.
Derivada de y\ln x em relação a y: \ln x é constante, então \dfrac{\partial}{\partial y}(y\ln x)=\ln x.
Derivada de x y^{2} em relação a y: x é constante, então \dfrac{\partial}{\partial y}(x y^{2})=x\cdot 2y=2xy.
Um exemplo curto para fixar: se g(x,y)=x^{2}y, então \dfrac{\partial g}{\partial x}=2x y (tratando y como constante) e \dfrac{\partial g}{\partial y}=x^{2}.
Interpretação rápida e incentivo: as componentes calculadas dizem que, no ponto (1,2), se eu aumentar um pouquinho x mantendo y fixo, f cresce aproximadamente 6 vezes o aumento de x; se eu aumentar um pouquinho y mantendo x fixo, f cresce aproximadamente 4 vezes o aumento de y. Ótimo trabalho por ter chegado até aqui — você conseguiu!