Questão 5. Encontre o vetor gradiente de f(x, y)=y \ln x+x y^{2} no ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o vetor gradiente de f(x,y)=y\ln x + x y^{2} no ponto (1,2).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=y\ln x + x y^{2}.
  • O ponto onde devemos avaliar o gradiente é (x,y)=(1,2).

Passo 2

O que é o vetor gradiente e como vamos representá‑lo.
Definição (forma prática): o vetor gradiente de uma função f(x,y) é o par formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e a y. Em notação:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Explicando de maneira simples: cada componente do gradiente diz como a função muda quando mexemos só numa das variáveis, mantendo a outra fixa.
Regras de diferenciação que usaremos (lembrando o que cada símbolo significa):
  • Derivada de \ln x em relação a x é \dfrac{1}{x}.
  • Ao calcular \dfrac{\partial}{\partial x} de uma expressão que contém y, tratamos y como constante (e vice‑versa).
  • Derivada de x y^{2} em relação a x: y^{2} é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=y^{2}.
  • Derivada de y\ln x em relação a x: y é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(y\ln x)=y\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{y}{x}.
  • Derivada de y\ln x em relação a y: \ln x é constante, então \dfrac{\partial}{\partial y}(y\ln x)=\ln x.
  • Derivada de x y^{2} em relação a y: x é constante, então \dfrac{\partial}{\partial y}(x y^{2})=x\cdot 2y=2xy.
Um exemplo curto para fixar: se g(x,y)=x^{2}y, então \dfrac{\partial g}{\partial x}=2x y (tratando y como constante) e \dfrac{\partial g}{\partial y}=x^{2}.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a x.
Usando as regras acima:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(y\ln x\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(x y^{2}\big).
Cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(y\ln x\big)=\frac{y}{x}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\big(x y^{2}\big)=y^{2}.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y}{x}+y^{2}.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de f em relação a y.
De forma análoga:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(y\ln x\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2}\big).
Cada termo:
\frac{\partial}{\partial y}\big(y\ln x\big)=\ln x, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2}\big)=2xy.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\ln x + 2xy.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto (1,2).
Primeiro componente:
\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,2)}=\frac{y}{x}+y^{2}\Bigg|_{(1,2)}=\frac{2}{1}+2^{2}=2+4=6.
Segunda componente:
\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,2)}=\ln x + 2xy\Bigg|_{(1,2)}=\ln 1 + 2\cdot 1\cdot 2=0+4=4.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: as componentes calculadas dizem que, no ponto (1,2), se eu aumentar um pouquinho x mantendo y fixo, f cresce aproximadamente 6 vezes o aumento de x; se eu aumentar um pouquinho y mantendo x fixo, f cresce aproximadamente 4 vezes o aumento de y. Ótimo trabalho por ter chegado até aqui — você conseguiu!

Resposta

\nabla f(1,2)=(6,4)

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