Calcule o comprimento da curva.
Passo 1
O enunciado fornece a curva paramétrica
no intervalo
.
A pergunta é: calcular o comprimento da curva entre e
. Vou listar explicitamente o que temos:
A pergunta é: calcular o comprimento da curva entre
- As funções paramétricas
e dadas acima (peguei essas expressões do enunciado). - O intervalo de integração é
.
O objetivo é aplicar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas e calcular a integral correspondente.
Passo 2
Lembrete da fórmula do comprimento de arco para uma curva paramétrica
:
se e
são diferenciáveis em
, o comprimento
é
se
Explicando:
e
são as componentes da velocidade; o integrando é o módulo da velocidade e a integral soma esses pequenos comprimentos para obter o comprimento total.
Passo 3
Calcular as derivadas
e
diretamente (mostrando cada passo):
Derivando ,
Derivando
Derivando
,
Observação: usei
e
.
Passo 4
Fatorando
nas derivadas para simplificar:
Agora montamos o quadrado da velocidade:
Passo 5
Simplificar a expressão trigonométrica dentro dos colchetes. Vou expandir e usar identidades trigonométricas:
Expandindo,
Expandindo,
Como
, os dois primeiros termos somam
. E
pela identidade
. Assim
Usando a identidade
, obtemos
Portanto
Passo 6
A velocidade (módulo) é a raiz quadrada dessa soma:
Agora observe o intervalo de integração: para
temos
, portanto
. Assim a velocidade é simplesmente
no intervalo considerado.
Passo 7
Calcular o comprimento usando a fórmula e a velocidade encontrada:
Integrando
:
logo
Como
e
,
Passo 8
Resumo final e interpretação curta (para motivar): o integrando simplificou muito por causa das identidades trigonométricas — a combinação das diferenças de senos e cossenos reduziu tudo a
, o que deixou a integral fácil. Boa notícia: o comprimento dá um número simples.
Resposta
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