Calcule o comprimento da curva.
x=3 \cos t-\cos 3 t, \quad y=3 \sin t-\sin 3 t, \quad 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

O enunciado fornece a curva paramétrica
x=3\cos t-\cos 3t,\qquad y=3\sin t-\sin 3t,
no intervalo \,0\le t\le\pi.
A pergunta é: calcular o comprimento da curva entre t=0 e t=\pi. Vou listar explicitamente o que temos:
  • As funções paramétricas x(t) e y(t) dadas acima (peguei essas expressões do enunciado).
  • O intervalo de integração é \,[0,\pi].
    O objetivo é aplicar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas e calcular a integral correspondente.

Passo 2

Lembrete da fórmula do comprimento de arco para uma curva paramétrica (x(t),y(t)):
se x e y são diferenciáveis em [a,b], o comprimento L é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\;dt.
Explicando: \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} são as componentes da velocidade; o integrando é o módulo da velocidade e a integral soma esses pequenos comprimentos para obter o comprimento total.

Passo 3

Calcular as derivadas \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} diretamente (mostrando cada passo):
Derivando x(t)=3\cos t-\cos 3t,
\frac{dx}{dt}=-3\sin t+3\sin 3t.
Derivando y(t)=3\sin t-\sin 3t,
\frac{dy}{dt}=3\cos t-3\cos 3t.
Observação: usei \frac{d}{dt}\cos(kt)=-k\sin(kt) e \frac{d}{dt}\sin(kt)=k\cos(kt).

Passo 4

Fatorando 3 nas derivadas para simplificar:
\frac{dx}{dt}=3(\sin 3t-\sin t), \qquad \frac{dy}{dt}=3(\cos t-\cos 3t).
Agora montamos o quadrado da velocidade:
\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 =9\Big[(\sin 3t-\sin t)^2+(\cos t-\cos 3t)^2\Big].

Passo 5

Simplificar a expressão trigonométrica dentro dos colchetes. Vou expandir e usar identidades trigonométricas:
Expandindo,
(\sin 3t-\sin t)^2+(\cos 3t-\cos t)^2 =(\sin^2 3t+\cos^2 3t)+(\sin^2 t+\cos^2 t)-2[\sin3t\sin t+\cos3t\cos t].
Como \sin^2\theta+\cos^2\theta=1, os dois primeiros termos somam 1+1=2. E
\sin3t\sin t+\cos3t\cos t=\cos(3t-t)=\cos 2t,
pela identidade \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. Assim
(\sin 3t-\sin t)^2+(\cos 3t-\cos t)^2=2-2\cos 2t.
Usando a identidade \,1-\cos 2t=2\sin^2 t, obtemos
2-2\cos 2t=4\sin^2 t.
Portanto
\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2=9\cdot 4\sin^2 t=36\sin^2 t.

Passo 6

A velocidade (módulo) é a raiz quadrada dessa soma:
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=\sqrt{36\sin^2 t}=6|\sin t|.
Agora observe o intervalo de integração: para t\in[0,\pi] temos \sin t\ge 0, portanto |\sin t|=\sin t. Assim a velocidade é simplesmente 6\sin t no intervalo considerado.

Passo 7

Calcular o comprimento usando a fórmula e a velocidade encontrada:
L=\int_{0}^{\pi}6\sin t\;dt=6\int_{0}^{\pi}\sin t\;dt.
Integrando \sin t:
\int \sin t\;dt=-\cos t,
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L=6\big[-\cos t\big]_{0}^{\pi}=6\big(-\cos\pi+\cos 0\big).
Como \cos\pi=-1 e \cos 0=1,
L=6\big(-(-1)+1\big)=6(1+1)=12.

Passo 8

Resumo final e interpretação curta (para motivar): o integrando simplificou muito por causa das identidades trigonométricas — a combinação das diferenças de senos e cossenos reduziu tudo a \sin^2 t, o que deixou a integral fácil. Boa notícia: o comprimento dá um número simples.

Resposta

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