Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos resolver os seguintes problemas:
Se: T(x, y)=x e^{x y} representa a temperatura num ponto ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) numa certa região do plano, calcular as seguintes temperaturas \mathrm{T}(1.0023,0.00012) e \mathrm{T}(0.00012,1.0023).

Passo 1

O enunciado dá a função temperatura
T(x,y)=x e^{x y}
e pede para calcular duas temperaturas nos pontos indicados:
T(1,0023,\,0,00012)\quad\text{e}\quad T(0,00012,\,1,0023).
Informações relevantes fornecidas:
x_1=1,0023,\; y_1=0,00012;\qquad x_2=0,00012,\; y_2=1,0023.
Nenhuma calculadora está disponível, então devemos usar aproximações analíticas (séries ou linearização) aproveitando que o produto x y será muito pequeno nesses pontos.

Passo 2

Calcular o produto t=x y (porque ele aparece no expoente e^{x y}) para os dois pontos. Primeiro ponto:
t = 1,0023\cdot 0,00012.
Faço a multiplicação assim: 1,0023\cdot 0,00012=(1,0023\cdot 12)\times 10^{-5}. Calculo 1,0023\cdot 12:
1,0023\cdot 12=12,0276.
Portanto
t=12,0276\times 10^{-5}=0,000120276.
Para o segundo ponto o produto é o mesmo porque a multiplicação é comutativa:
0,00012\cdot 1,0023=0,000120276.
Logo em ambos os casos o expoente é
t=0,000120276.

Passo 3

Explicar a ferramenta que vamos usar: a série de Taylor (desenvolvimento em série) da função exponencial em torno de 0. A série é
e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3!}+\cdots.
Aqui t é o número pequeno que calculamos (no problema, t=x y). Quando t é muito pequeno, os termos de ordem superior \frac{t^{3}}{3!},\frac{t^{4}}{4!},\dots ficam muito pequenos e podemos truncar a série mantendo apenas os primeiros termos. A ordem de truncamento depende da precisão que queremos; normalmente para t da ordem de 10^{-4} os termos até t^{2}/2 já dão ótima precisão, pois t^{3}/6 será da ordem de 10^{-12} ou menor.

Passo 4

Calcular os termos necessários da série para t=0,000120276.
Primeiro termo (já conhecido):
1.
Segundo termo:
t=0,000120276.
Terceiro termo:
\frac{t^{2}}{2}=\frac{(0,000120276)^{2}}{2}.
Calculo aproximado do quadrado: (0,000120276)^{2}\approx 0,000000014466331 (isto é cerca de 1,4466\times 10^{-8}). Dividindo por 2,
\frac{t^{2}}{2}\approx 0,0000000072331655.
Quarto termo (ordem t^{3}/6) para estimar o erro:
\frac{t^{3}}{6}\approx\frac{(1,4466\times 10^{-8})\cdot 0,000120276}{6}\approx 2{,}9\times 10^{-13},
que é completamente desprezível para a precisão que buscamos (ordem 10^{-12} ou menor).

Passo 5

Montar a aproximação de e^{t} com os termos calculados:
e^{t}\approx 1 + t + \frac{t^{2}}{2}.
Substituindo os números:
e^{t}\approx 1 + 0,000120276 + 0,0000000072331655 \approx 1,0001202832331655.
Vou guardar essa aproximação com precisão suficiente:
e^{t}\approx 1,00012028323315.

Passo 6

Calcular agora T(1,0023,\,0,00012). Usamos
T(1,0023,0,00012)=1,0023\cdot e^{t}\approx 1,0023\cdot 1,00012028323315.
Multiplico de forma manual e organizada: escrevo
1,0023\cdot 1,00012028323315 =1,00012028323315 + 0,0023\cdot 1,00012028323315.
Calculo o segundo termo:
0,0023\cdot 1,00012028323315=\frac{23}{10000}\cdot 1,00012028323315 \approx 0,002300276651236245.
Somando,
T(1,0023,0,00012)\approx 1,00012028323315 + 0,002300276651236245 \approx 1,0024205598843862.
Considerando o termo desprezado t^{3}/6 da exponencial, o erro na quinta casa decimal é ínfimo; portanto este valor é confiável até muitos dígitos.

Passo 7

Calcular T(0,00012,\,1,0023). Usamos
T(0,00012,1,0023)=0,00012\cdot e^{t}\approx 0,00012\cdot 1,00012028323315.
Faço a multiplicação como \frac{12}{100000}\cdot 1,00012028323315:
0,00012\cdot 1,00012028323315 =\frac{12}{100000}\cdot 1,00012028323315 \approx 0,000120014433987978.
Portanto
T(0,00012,1,0023)\approx 0,000120014433987978.

Passo 8

Resumo e verificação rápida do erro: usamos a expansão de Taylor até t^{2}/2. O termo seguinte é da ordem 10^{-13}, logo o erro absoluto nas respostas é menor que 10^{-12} para a primeira temperatura e menor que 10^{-16} para a segunda (proporcionalmente ainda menor), o que é totalmente desprezível no contexto habitual de provas sem calculadora. Fica aqui um incentivo: usar a série de Taylor/linearização é a ferramenta padrão quando o expoente é um número pequeno — ela permite calcular sem calculadora com boa precisão.

Resposta

T(1,0023,0,00012)\approx 1,0024205598843862
T(0,00012,1,0023)\approx 0,000120014433987978

Exercícios relacionados