Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos resolver os seguintes problemas:
Se:
representa a temperatura num ponto (
) numa certa região do plano, calcular as seguintes temperaturas
e
.
Se:
Passo 1
O enunciado dá a função temperatura
e pede para calcular duas temperaturas nos pontos indicados:
Informações relevantes fornecidas:
Nenhuma calculadora está disponível, então devemos usar aproximações analíticas (séries ou linearização) aproveitando que o produto
será muito pequeno nesses pontos.
Passo 2
Calcular o produto
(porque ele aparece no expoente
) para os dois pontos. Primeiro ponto:
Faço a multiplicação assim:
. Calculo
:
Portanto
Para o segundo ponto o produto é o mesmo porque a multiplicação é comutativa:
Logo em ambos os casos o expoente é
Passo 3
Explicar a ferramenta que vamos usar: a série de Taylor (desenvolvimento em série) da função exponencial em torno de
. A série é
Aqui
é o número pequeno que calculamos (no problema,
). Quando
é muito pequeno, os termos de ordem superior
ficam muito pequenos e podemos truncar a série mantendo apenas os primeiros termos. A ordem de truncamento depende da precisão que queremos; normalmente para
da ordem de
os termos até
já dão ótima precisão, pois
será da ordem de
ou menor.
Passo 4
Calcular os termos necessários da série para
.
Primeiro termo (já conhecido):
Segundo termo:
Terceiro termo:
Calculo aproximado do quadrado:
(isto é cerca de
). Dividindo por
,
Quarto termo (ordem
) para estimar o erro:
que é completamente desprezível para a precisão que buscamos (ordem
ou menor).
Passo 5
Montar a aproximação de
com os termos calculados:
Substituindo os números:
Vou guardar essa aproximação com precisão suficiente:
Passo 6
Calcular agora
. Usamos
Multiplico de forma manual e organizada: escrevo
Calculo o segundo termo:
Somando,
Considerando o termo desprezado
da exponencial, o erro na quinta casa decimal é ínfimo; portanto este valor é confiável até muitos dígitos.
Passo 7
Calcular
. Usamos
Faço a multiplicação como
:
Portanto
Passo 8
Resumo e verificação rápida do erro: usamos a expansão de Taylor até
. O termo seguinte é da ordem
, logo o erro absoluto nas respostas é menor que
para a primeira temperatura e menor que
para a segunda (proporcionalmente ainda menor), o que é totalmente desprezível no contexto habitual de provas sem calculadora. Fica aqui um incentivo: usar a série de Taylor/linearização é a ferramenta padrão quando o expoente é um número pequeno — ela permite calcular sem calculadora com boa precisão.