Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos resolver os seguintes problemas:
Se:
representa a densidade de um ponto (
) numa certa região do espaço que não contem a origem, determine
.
Se:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a densidade
no ponto
dada pela fórmula
Informações dadas e que vamos usar:
Devemos avaliar
. Não usamos calculadora, então faremos contas algébricas e aproximações por séries (linearização/Taylor) explicadas passo a passo.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão usando uma identidade logarítmica útil:
Aqui a ideia é calcular
e então tirar
.
Passo 3
Calculamos as potências individuais sem calculadora, usando desenvolvimentos simples:
Passo 4
Somamos para obter
:
Passo 5
Reescrevemos
de forma conveniente para usar uma expansão em série:
logo
Explicação didática: escrevemos como
com
porque
e a expansão em série para
é muito conveniente quando
é pequeno.
Passo 6
Vamos aproximar
com a série de Taylor centrada em
:
Essa série converge rápido quando
. Aqui
é pequeno, então termos até
já dão ótima precisão sem calculadora.
Calculemos os potes de
(mostrando como fazer sem calculadora):
(para obter isso você pode multiplicar
e reajustar casas decimais, como fizemos aqui.)
Agora aplicamos a série até o termo cúbico:
Substituindo os números:
Fazendo as somas/subtrações:
Passo 7
Agora somamos com
. Usamos o valor conhecido (ou memorizado) de
:
Logo
Passo 8
Finalmente aplicamos o fator
:
Arredondando de forma razoável (por exemplo a 6 casas decimais) obtemos
.