Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos resolver os seguintes problemas:
Se: \rho(x, y, z)=\ln \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) representa a densidade de um ponto ( \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} ) numa certa região do espaço que não contem a origem, determine \rho(1,005 ; 0,007 ; 1,01).

Passo 1

O que o problema pede: calcular a densidade \rho no ponto (1,005;0,007;1,01) dada pela fórmula
\rho(x,y,z)=\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right).
Informações dadas e que vamos usar:
x=1,005,\qquad y=0,007,\qquad z=1,01.
Devemos avaliar \rho(1,005;0,007;1,01). Não usamos calculadora, então faremos contas algébricas e aproximações por séries (linearização/Taylor) explicadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão usando uma identidade logarítmica útil:
\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)=\frac{1}{2}\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big).
Aqui a ideia é calcular r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} e então tirar \frac{1}{2}\ln(r^{2}).

Passo 3

Calculamos as potências individuais sem calculadora, usando desenvolvimentos simples:
1,005^{2}=(1+0,005)^{2}=1+2\cdot0,005+0,005^{2}=1+0,01+0,000025=1,010025.
0,007^{2}=0,000049.
1,01^{2}=(1+0,01)^{2}=1+2\cdot0,01+0,01^{2}=1+0,02+0,0001=1,0201.

Passo 4

Somamos para obter r^{2}:
r^{2}=1,010025+0,000049+1,0201=2,030174.

Passo 5

Reescrevemos \ln(r^{2}) de forma conveniente para usar uma expansão em série:
r^{2}=2,030174=2\cdot 1,015087,
logo
\ln(r^{2})=\ln(2)+\ln(1,015087).
Explicação didática: escrevemos como 2\cdot(1+\varepsilon) com \varepsilon=0,015087 porque \ln(ab)=\ln a+\ln b e a expansão em série para \ln(1+\varepsilon) é muito conveniente quando \varepsilon é pequeno.

Passo 6

Vamos aproximar \ln(1+\varepsilon) com a série de Taylor centrada em \varepsilon=0:
\ln(1+\varepsilon)=\varepsilon-\frac{\varepsilon^{2}}{2}+\frac{\varepsilon^{3}}{3}-\cdots
Essa série converge rápido quando |\varepsilon|\ll1. Aqui \varepsilon=0,015087 é pequeno, então termos até \varepsilon^{3} já dão ótima precisão sem calculadora.
Calculemos os potes de \varepsilon (mostrando como fazer sem calculadora):
\varepsilon=0,015087.
\varepsilon^{2}=0,015087^{2}=0,000227617569.
(para obter isso você pode multiplicar 15087\cdot15087=227\,617\,569 e reajustar casas decimais, como fizemos aqui.)
\varepsilon^{3}=\varepsilon^{2}\cdot\varepsilon=0,000227617569\cdot0,015087\approx0,0000034340672635.
Agora aplicamos a série até o termo cúbico:
\ln(1,015087)\approx \varepsilon-\frac{\varepsilon^{2}}{2}+\frac{\varepsilon^{3}}{3}.
Substituindo os números:
\varepsilon=0,015087,
\frac{\varepsilon^{2}}{2}= \frac{0,000227617569}{2}=0,0001138087845,
\frac{\varepsilon^{3}}{3}= \frac{0,0000034340672635}{3}=0,0000011446890878.
Fazendo as somas/subtrações:
\ln(1,015087)\approx 0,015087-0,0001138087845+0,0000011446890878=0,014974335904588.

Passo 7

Agora somamos com \ln 2. Usamos o valor conhecido (ou memorizado) de \ln 2:
\ln 2\approx 0,69314718056.
Logo
\ln(r^{2})=\ln 2+\ln(1,015087)\approx 0,69314718056+0,014974335904588=0,708121516464588.

Passo 8

Finalmente aplicamos o fator \tfrac{1}{2}:
\rho(1,005;0,007;1,01)=\frac{1}{2}\ln(r^{2})\approx\frac{1}{2}\cdot0,708121516464588=0,354060758232294.
Arredondando de forma razoável (por exemplo a 6 casas decimais) obtemos 0,354061.

Resposta

0,354061

Exercícios relacionados