Exercício 20 Calcule o volume dos sólidos dados.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
O que o problema pede: calcular o volume do sólido
.
Informações relevantes fornecidas:
- As coordenadas
e variam independentemente em . - Para cada par
fixo, a coordenada varia de até . - O volume de um sólido descrito por desigualdades como estas é dado pela integral tripla do integrando
sobre a região .
Passo 2
Escrevemos o volume
como integral tripla de
sobre
. Como os limites são simples (produto de intervalos em
e
e limites em
dependentes de
), podemos usar a ordem
:
Explicação curta: integrar
sobre um conjunto dá o volume; integrar em
primeiro é natural porque seus limites são explícitos em termos de
.
Passo 3
Calcule a integral interna em
. Integrar
em relação a
produz a diferença entre os limites superior e inferior:
Logo
Passo 4
Simplificamos a parte exponencial usando que
. Também separemos a integral em duas partes:
A segunda integral é fácil: é simplesmente a área do quadrado
, isto é
.
Passo 5
Avalie a primeira integral. Como
e as integrais são sobre retângulo, a integral dupla se separa:
Agora calculamos cada integral simples:
Portanto
Passo 6
Recolocando tudo em
:
Se desejar, pode expandir: