Exercício 20 Calcule o volume dos sólidos dados.
S=\left\{(x, y, z): 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,1 \leq z \leq 2 e^{x+y}\right\}\

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S=\left\{(x,y,z)\\ :\\\ 0\le x\le 1,\\\ 0\le y\le 1,\\\ 1\le z\le 2e^{x+y}\right\}.
O que o problema pede: calcular o volume do sólido S.
Informações relevantes fornecidas:
  • As coordenadas x e y variam independentemente em [0,1].
  • Para cada par (x,y) fixo, a coordenada z varia de 1 até 2e^{x+y}.
  • O volume de um sólido descrito por desigualdades como estas é dado pela integral tripla do integrando 1 sobre a região S.

Passo 2

Escrevemos o volume V como integral tripla de 1 sobre S. Como os limites são simples (produto de intervalos em x e y e limites em z dependentes de x,y), podemos usar a ordem dz\,dy\,dx:
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{z=1}^{2e^{x+y}} 1\;dz\;dy\;dx.
Explicação curta: integrar 1 sobre um conjunto dá o volume; integrar em z primeiro é natural porque seus limites são explícitos em termos de x,y.

Passo 3

Calcule a integral interna em z. Integrar 1 em relação a z produz a diferença entre os limites superior e inferior:
\int_{z=1}^{2e^{x+y}} 1\;dz = 2e^{x+y}-1.
Logo
V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bigl(2e^{x+y}-1\bigr)\;dy\;dx.

Passo 4

Simplificamos a parte exponencial usando que e^{x+y}=e^{x}e^{y}. Também separemos a integral em duas partes:
V=2\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+y}\;dy\;dx \;-\; \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}1\;dy\;dx.
A segunda integral é fácil: é simplesmente a área do quadrado [0,1]\times[0,1], isto é 1.

Passo 5

Avalie a primeira integral. Como e^{x+y}=e^{x}e^{y} e as integrais são sobre retângulo, a integral dupla se separa:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+y}\;dy\;dx = \left(\int_{0}^{1} e^{x}\;dx\right)\left(\int_{0}^{1} e^{y}\;dy\right).
Agora calculamos cada integral simples:
\int_{0}^{1} e^{x}\;dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1} = e-1,
\int_{0}^{1} e^{y}\;dy = \bigl[e^{y}\bigr]_{0}^{1} = e-1.
Portanto
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+y}\;dy\;dx = (e-1)(e-1)=(e-1)^{2}.

Passo 6

Recolocando tudo em V:
V = 2\,(e-1)^{2} - 1.
Se desejar, pode expandir:
V = 2e^{2} - 4e + 1.

Resposta

2(e-1)^{2}-1

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