Questão 1
Encontre a equação do plano tangente ao grafico da função definida por f(x, y)=x^4+2 x^2 y^2+x y^4+10 y em x=10 e y=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto onde e .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com planos tangentes a superfícies.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é um plano tangente.
  • Calcular derivadas parciais da função .
  • Utilizar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto dado, ou seja, calcular f(10, 1) = (10)^4 + 2(10)^2(1)^2 + (10)(1)^4 + 10(1) .

Passo 3

Calculando cada termo:
(10)^4 &= 10,000 2(10)^2(1)^2 &= 2 times 100 times 1 = 200 (10)(1)^4 &= 10 times 1 = 10 10(1) &= 10
Somando tudo:
10,000 + 200 + 10 + 10 = 10,220
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de fx(x, y) = partialpartial x(x^4 + 2x^2y^2 + xy^4 + 10y) em relação a partialpartial x(x^4) &= 4x^3 partialpartial x(2x^2y^2) &= 4xy^2 partialpartial x(xy^4) &= y^4 partialpartial x(10y) &= 0 e fx(x, y) = 4x^3 + 4xy^2 + y^4 , que são fx(10, 1) = 4(10)^3 + 4(10)(1)^2 + (1)^4 = 4 times 1000 + 40 + 1 = 4000 + 40 + 1 = 4041 e fy(x, y) = partialpartial y(x^4 + 2x^2y^2 + xy^4 + 10y) , respectivamente.
Derivada parcial em relação a partialpartial y(x^4) &= 0 partialpartial y(2x^2y^2) &= 4x^2y partialpartial y(xy^4) &= 4xy^3 partialpartial y(10y) &= 10 ( fy(x, y) = 4x^2y + 4xy^3 + 10 ):
fy(10, 1) = 4(10)^2(1) + 4(10)(1)^3 + 10 = 4 times 100 times 1 + 40 times 1 + 10 = 400 + 40 + 10 = 450
Derivando termo a termo:
Então,
Agora, avaliando em :
Derivada parcial em relação a ( ):
Derivando termo a termo:
Então,
Agora, avaliando em :

Passo 5

Com os valores de z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) , z = 10,220 + 4041(x - 10) + 450(y - 1) e em mãos, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo , :

Resposta

A equação do plano tangente é:
z = 10,220 + 4,041, (x - 10) + 450, (y - 1)

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