Para cada uma das funções abaixo, encontre os pontos críticos e classifiqueos como mínimo local, máximo local, ponto de sela ou inconclusivo.
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
e classificá-los (mínimo, máximo, sela ou inconclusivo). O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais para montar o gradiente e depois análise pela matriz Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
e
. Fatorando cada equação obtemos:
Passo 4
Isso gera quatro casos:
• Caso 1: → ponto
.
• Caso 2: e
→
→ ponto
.
• Caso 3: e
→
→ pontos
e
.
• Caso 4: nem nem
são zero, então
e
levam a
, ou seja
.
• Caso 1:
• Caso 2:
• Caso 3:
• Caso 4: nem
Passo 5
Agora montamos a matriz Hessiana, cujos elementos são as segundas derivadas:
Passo 6
Para cada ponto crítico calculamos o determinante
e olhamos o sinal de
:
• Em :
→ ponto de sela.
• Em :
→ ponto de sela.
• Em :
→ ponto de sela.
• Em :
→ ponto de sela.
• Em :
e
→ mínimo local.
• Em :
e
→ máximo local.
• Em
• Em
• Em
• Em
• Em
• Em
Resposta
Pontos críticos e classificação:
(0,0) → sela;
(0,1) → sela;
(1,0) → sela;
(-1,0) → sela;
(1/√5,2/5) → mínimo local;
(-1/√5,2/5) → máximo local.
(0,0) → sela;
(0,1) → sela;
(1,0) → sela;
(-1,0) → sela;
(1/√5,2/5) → mínimo local;
(-1/√5,2/5) → máximo local.