Para cada uma das funções abaixo, encontre os pontos críticos e classifiqueos como mínimo local, máximo local, ponto de sela ou inconclusivo.
f(x, y)=x y^2+x^3 y-x y.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x,y)=x y^2+x^3y - x y e classificá-los (mínimo, máximo, sela ou inconclusivo). O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais para montar o gradiente e depois análise pela matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
fx = y^2 + 3x^2y - y,
fy = 2xy + x^3 - x

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos fx=0 e fy=0. Fatorando cada equação obtemos:
y,l(y +3x^2 -1r)=0,
x,l(2y + x^2 -1r)=0

Passo 4

Isso gera quatro casos:
• Caso 1: x=0, y=0 → ponto (0,0).
• Caso 2: x=0 e y+3x^2-1=0 y=1 → ponto (0,1).
• Caso 3: y=0 e 2y + x^2-1=0 x^2=1 → pontos (1,0) e (-1,0).
• Caso 4: nem x nem y são zero, então y=1-3x^2 e 2y + x^2 -1=0 levam a x^2=1/5, ou seja x=pm1/raiz5,;y=2/5.

Passo 5

Agora montamos a matriz Hessiana, cujos elementos são as segundas derivadas:
fxx=6xy, fxy=2y+3x^2-1, fyy=2x

Passo 6

Para cada ponto crítico calculamos o determinante D=fxxfyy-fxy^2 e olhamos o sinal de fxx:
• Em (0,0): D=0,·0 -(-1)^2=-1<0 → ponto de sela.
• Em (0,1): D=0·0 -1^2=-1<0 → ponto de sela.
• Em (1,0): D=0·2 -2^2=-4<0 → ponto de sela.
• Em (-1,0): D=0·(-2)-2^2=-4<0 → ponto de sela.
• Em (1/raiz5,2/5): D=4/5>0 e fxx=12/(5raiz5)>0 → mínimo local.
• Em (-1/raiz5,2/5): D=4/5>0 e fxx=-12/(5raiz5)<0 → máximo local.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(0,0) → sela;
(0,1) → sela;
(1,0) → sela;
(-1,0) → sela;
(1/√5,2/5) → mínimo local;
(-1/√5,2/5) → máximo local.

Exercícios relacionados