Use a aproximeção linear da função de produção f(x, y)=6 x^2 / 3 y^1 / 2 no ponto (1000,100) para obter uma aproximação de f(998,101.5).

Passo 1

Estamos com a função de produção f(x,y)=6x^2/3y^1/2 e queremos aproximar f(998,101.5) usando a aproximação linear em torno do ponto (a,b)=(1000,100). Esse método usa a ideia de que, perto de um ponto, a variação de f é dada pelas derivadas parciais.

Passo 2

Para aplicar a aproximação linear, primeiro calculamos as derivadas parciais gerais. Temos
partial fpartial x(x,y)=6cdot23x^-1/3y^1/2=4x^-1/3y^1/2,
partial fpartial y(x,y)=6x^2/3cdot12y^-1/2=3x^2/3y^-1/2

Passo 3

Agora avaliamos f, fx e fy em (1000,100). Como 1000^2/3=100 e 100^1/2=10,
f(1000,100)=6times100times10=6000
Para as derivadas:
x^-1/3=1000^-1/3=tfrac110, y^1/2=10 implies fx(1000,100)=4timestfrac110times10=4,
x^2/3=100, y^-1/2=tfrac110 implies fy(1000,100)=3times100timestfrac110=30

Passo 4

A aproximação linear L(x,y) em torno de (1000,100) é dada por
L(x,y)=f(1000,100)+fx(1000,100)(x-1000)+fy(1000,100)(y-100)
Finalmente, substituímos (x,y)=(998,101.5):
L(998,101.5)=6000+4,(998-1000)+30,(101.5-100)=6000-8+45=6037

Resposta

Aproximação: 6037

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