Questão 2
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da seguinte função no ponto dado.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da seguinte função no ponto dado.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado.” A função fornecida é
O enunciado fala “no ponto dado”, mas não fornece um ponto numérico específico. Portanto vou chamar o ponto dado de
, isto é, o ponto cuja abscissa é
e cuja ordenada é
. A meta será encontrar a equação da reta tangente em termos desse
.
Resumo das informações relevantes:
- Função:
. - Ponto onde queremos a tangente:
(usei por ausência de valor numérico). - Pedido: equação da reta tangente ao gráfico neste ponto.
Passo 2
Entender o que é reta tangente e como encontrá-la. A reta tangente ao gráfico de
no ponto
é a reta que toca o gráfico em
e tem a mesma inclinação (derivada) que a curva nesse ponto. A fórmula padrão é a forma ponto-de-encosto (point-slope):
Aqui
é a derivada de
avaliada em
, que nos dá a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Calcular a derivada da função. Para isso uso duas regras básicas de derivação:
- Regra da potência (power rule): se
com constante, então . - Derivada da exponencial: se
, então . - Constante multiplicativa: a constante fator sai multiplicando a derivada (se
, então ).
Aplicando às parcelas de
:
- Derivada de
é (pela regra da potência). - Derivada de
é (a constante permanece e a derivada de é ).
Portanto a derivada da função é
Passo 4
Avaliar a derivada no ponto
para obter a inclinação
da tangente:
Também a ordenada do ponto é
Agora uso a fórmula da reta tangente (forma ponto-de-encosto):
Substituindo
e
obtemos a equação da reta tangente em termos de
:
Passo 5
Opcionalmente, podemos reorganizar a equação para a forma explícita
. Desenvolvendo o membro direito:
Primeiro multiplico:
Primeiro multiplico:
Somando
aos dois lados para isolar
, obtemos
Agora simplifico o termo constante:
Portanto, na forma reduzida:
Passo 6
Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido (apenas ilustração): se o ponto fosse
, então
e
. A reta tangente seria
(Isto é só para ver como aplicar a fórmula com um número; a resposta geral continua sendo a do passo anterior.)