Questão 2
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da seguinte função no ponto dado.
y=x^{4}+2 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado.” A função fornecida é
y = x^{4} + 2e^{x}.
O enunciado fala “no ponto dado”, mas não fornece um ponto numérico específico. Portanto vou chamar o ponto dado de (a,y(a)), isto é, o ponto cuja abscissa é x=a e cuja ordenada é y(a)=a^{4}+2e^{a}. A meta será encontrar a equação da reta tangente em termos desse a.
Resumo das informações relevantes:
  • Função: \;y = x^{4} + 2e^{x}.
  • Ponto onde queremos a tangente: \;(a,\;a^{4}+2e^{a}) (usei a por ausência de valor numérico).
  • Pedido: equação da reta tangente ao gráfico neste ponto.

Passo 2

Entender o que é reta tangente e como encontrá-la. A reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto x=a é a reta que toca o gráfico em (a,f(a)) e tem a mesma inclinação (derivada) que a curva nesse ponto. A fórmula padrão é a forma ponto-de-encosto (point-slope):
y - f(a) = f'(a)\,(x - a).
Aqui f'(a) é a derivada de f avaliada em x=a, que nos dá a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Calcular a derivada da função. Para isso uso duas regras básicas de derivação:
  • Regra da potência (power rule): se f(x)=x^{n} com n constante, então f'(x)=n x^{n-1}.
  • Derivada da exponencial: se g(x)=e^{x}, então g'(x)=e^{x}.
  • Constante multiplicativa: a constante fator sai multiplicando a derivada (se h(x)=c\cdot u(x), então h'(x)=c\cdot u'(x)).
Aplicando às parcelas de y:
  • Derivada de x^{4} é 4x^{3} (pela regra da potência).
  • Derivada de 2e^{x} é 2e^{x} (a constante 2 permanece e a derivada de e^{x} é e^{x}).
Portanto a derivada da função é
f'(x)=4x^{3}+2e^{x}.

Passo 4

Avaliar a derivada no ponto x=a para obter a inclinação m da tangente:
m = f'(a)=4a^{3}+2e^{a}.
Também a ordenada do ponto é
f(a)=a^{4}+2e^{a}.
Agora uso a fórmula da reta tangente (forma ponto-de-encosto):
y - f(a) = f'(a)\,(x - a).
Substituindo f(a) e f'(a) obtemos a equação da reta tangente em termos de a:
y - \bigl(a^{4}+2e^{a}\bigr) = \bigl(4a^{3}+2e^{a}\bigr)\,(x - a).

Passo 5

Opcionalmente, podemos reorganizar a equação para a forma explícita y = mx + b. Desenvolvendo o membro direito:
Primeiro multiplico:
\bigl(4a^{3}+2e^{a}\bigr)(x-a) = \bigl(4a^{3}+2e^{a}\bigr)x - \bigl(4a^{3}+2e^{a}\bigr)a.
Somando f(a)=a^{4}+2e^{a} aos dois lados para isolar y, obtemos
y = \bigl(4a^{3}+2e^{a}\bigr)x + \bigl(a^{4}+2e^{a}\bigr) - a\bigl(4a^{3}+2e^{a}\bigr).
Agora simplifico o termo constante:
\bigl(a^{4}+2e^{a}\bigr) - a\bigl(4a^{3}+2e^{a}\bigr) = a^{4}+2e^{a} - 4a^{4} - 2a e^{a} = -3a^{4} + 2e^{a}(1-a).
Portanto, na forma reduzida:
y = \bigl(4a^{3}+2e^{a}\bigr)x + \bigl(-3a^{4} + 2e^{a}(1-a)\bigr).

Passo 6

Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido (apenas ilustração): se o ponto fosse a=0, então f(0)=0^{4}+2e^{0}=2 e f'(0)=4\cdot0^{3}+2e^{0}=2. A reta tangente seria
y-2=2(x-0)\quad\text{ou}\quad y=2x+2.
(Isto é só para ver como aplicar a fórmula com um número; a resposta geral continua sendo a do passo anterior.)

Resposta

y - \bigl(a^{4}+2e^{a}\bigr) = \bigl(4a^{3}+2e^{a}\bigr)\,(x - a).

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