Questão 3
Achar a derivada da seguinte função:
Achar a derivada da seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função dada. As informações fornecidas são:
A tarefa é calcular
.
Passo 2
Vou usar a regra de derivação para um produto de duas funções. A fórmula geral é:
onde
e
representam duas funções de
, e
,
são suas derivadas. Em palavras: a derivada do produto é a soma do derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 3
Identifico as duas funções que estão em produto:
Vou calcular
e
separadamente.
Passo 4
Derivando
. Uso a regra da potência: para qualquer
inteiro,
Aplicando isso,
Aqui o
some porque a derivada de uma constante é zero.
Passo 5
Agora preciso de
com
, onde
Vou usar a regra da cadeia. A regra da cadeia afirma que, se
, então
Isto é: deriva-se a função externa
obtendo
e multiplica-se pela derivada da função interna
.
Passo 6
Calculo
com
. Derivando termo a termo:
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia para
:
Passo 8
Agora aplico a regra do produto com
e
acima. Pela fórmula do produto:
Substituindo as expressões:
Posso organizar retirando o sinal negativo:
Passo 9
Comentário final curto para fixar: a derivada foi obtida combinando a regra do produto (para as duas partes multiplicadas) e a regra da cadeia (para a derivada do cosseno da função interna). Cada passo foi feito derivando term a termo e substituindo.