Questão 3
Achar a derivada da seguinte função:
y=\left(x^{3}+1\right) \cos \left[\frac{x^{2}}{4}+x\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função dada. As informações fornecidas são:
y=\left(x^{3}+1\right)\cos\left[\frac{x^{2}}{4}+x\right].
A tarefa é calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Vou usar a regra de derivação para um produto de duas funções. A fórmula geral é:
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x),
onde u(x) e v(x) representam duas funções de x, e u'(x), v'(x) são suas derivadas. Em palavras: a derivada do produto é a soma do derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Identifico as duas funções que estão em produto:
u(x)=x^{3}+1, \qquad v(x)=\cos\!\left(\frac{x^{2}}{4}+x\right).
Vou calcular u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 4

Derivando u(x)=x^{3}+1. Uso a regra da potência: para qualquer n inteiro,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando isso,
u'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(x^{3}+1\right)=3x^{2}+0=3x^{2}.
Aqui o +1 some porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 5

Agora preciso de v'(x) com v(x)=\cos\big(g(x)\big), onde
g(x)=\frac{x^{2}}{4}+x.
Vou usar a regra da cadeia. A regra da cadeia afirma que, se v(x)=\cos(g(x)), então
\frac{d}{dx}\cos(g(x))=-\sin(g(x))\cdot g'(x).
Isto é: deriva-se a função externa \cos(\cdot) obtendo -\sin(\cdot) e multiplica-se pela derivada da função interna g(x).

Passo 6

Calculo g'(x) com g(x)=\dfrac{x^{2}}{4}+x. Derivando termo a termo:
g'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{4}\right)+\frac{d}{dx}(x)=\frac{2x}{4}+1=\frac{x}{2}+1.

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia para v(x):
v'(x)=\frac{d}{dx}\cos\!\left(\frac{x^{2}}{4}+x\right)=-\sin\!\left(\frac{x^{2}}{4}+x\right)\cdot\left(\frac{x}{2}+1\right).

Passo 8

Agora aplico a regra do produto com u'(x)=3x^{2} e v'(x) acima. Pela fórmula do produto:
y' = u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo as expressões:
y' = 3x^{2}\cos\!\left(\frac{x^{2}}{4}+x\right) + (x^{3}+1)\left[-\sin\!\left(\frac{x^{2}}{4}+x\right)\cdot\left(\frac{x}{2}+1\right)\right].
Posso organizar retirando o sinal negativo:
y' = 3x^{2}\cos\!\left(\frac{x^{2}}{4}+x\right) - (x^{3}+1)\left(\frac{x}{2}+1\right)\sin\!\left(\frac{x^{2}}{4}+x\right).

Passo 9

Comentário final curto para fixar: a derivada foi obtida combinando a regra do produto (para as duas partes multiplicadas) e a regra da cadeia (para a derivada do cosseno da função interna). Cada passo foi feito derivando term a termo e substituindo.

Resposta

y'=3x^{2}\cos\!\left(\frac{x^{2}}{4}+x\right)-\bigl(x^{3}+1\bigr)\left(\frac{x}{2}+1\right)\sin\!\left(\frac{x^{2}}{4}+x\right)

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