Questão 5. (
) Encontre a equação da reta tangente e da reta normal a curva
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente e da reta normal à curva implícita
no ponto
. Para isso, vamos usar diferenciação implícita para encontrar a derivada
, obter a inclinação da reta tangente e então traçar também a reta normal (perpendicular).
Passo 2
Primeiro, verificamos que
pertence à curva, substituindo na equação:
Como dá zero, o ponto está de fato na curva.
Passo 3
Diferenciando
em relação a
, usando regra do produto e cadeia, temos:
Logo a derivada implícita satisfaz
Isolando
:
Passo 4
Agora avaliamos em
. No numerador vem
e no denominador
Logo
Esse é o coeficiente angular
da reta tangente. A reta normal é perpendicular, de coeficiente
.
Passo 5
Usando a forma ponto–inclinação, as equações são:
para a reta tangente em :
para a reta tangente em
e para a reta normal em
:
Resposta
Reta tangente:
Reta normal: