Questão 5. ( 1,5 pts ) Encontre a equação da reta tangente e da reta normal a curva
x^2 y^2-(y+1)^2(5-y^2)=0
no ponto P(4,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente e da reta normal à curva implícita
x^2y^2 - (y+1)^2(5 - y^2) = 0
no ponto P(4,1). Para isso, vamos usar diferenciação implícita para encontrar a derivada y'=dydx, obter a inclinação da reta tangente e então traçar também a reta normal (perpendicular).

Passo 2

Primeiro, verificamos que P(4,1) pertence à curva, substituindo na equação:
4^2cdot1^2 - (1+1)^2(5 - 1^2) =16 - 2^2cdot4 =16 - 16 =0
Como dá zero, o ponto está de fato na curva.

Passo 3

Diferenciando
x^2y^2 - (y+1)^2(5 - y^2) = 0
em relação a x, usando regra do produto e cadeia, temos:
ddx(x^2y^2) =2x y^2 + 2x^2y,y',
ddxl[(y+1)^2(5 - y^2)r] =2(y+1)y'(5 - y^2) + (y+1)^2(-2y,y') = y'l[2(y+1)(5 - y^2) - 2y(y+1)^2r]
Logo a derivada implícita satisfaz
2x y^2 + 2x^2y,y' - y'l[2(y+1)(5 - y^2) - 2y(y+1)^2r] = 0
Isolando y':
y',l(2x^2y - 2(y+1)(5 - y^2) + 2y(y+1)^2r) = -2x y^2,
y' = -2x y^22x^2y - 2(y+1)(5 - y^2) + 2y(y+1)^2 = -x y^2x^2y - (y+1)(5 - y^2) + y(y+1)^2

Passo 4

Agora avaliamos em P(4,1). No numerador vem
-,4cdot1^2 = -4,
e no denominador
4^2cdot1 - (1+1)(5 - 1^2) + 1cdot(1+1)^2 =16 - 2cdot4 + 4 =16 - 8 + 4 =12
Logo
y'(4,1) = -412 = -13
Esse é o coeficiente angular mt da reta tangente. A reta normal é perpendicular, de coeficiente mn = -tfrac1mt = 3.

Passo 5

Usando a forma ponto–inclinação, as equações são:
para a reta tangente em P:
y - 1 = -tfrac13,(x - 4),
e para a reta normal em P:
y - 1 = 3,(x - 4)

Resposta

Reta tangente:
y - 1 = -13,(x - 4)
Reta normal:
y - 1 = 3,(x - 4)

Exercícios relacionados