Usando as regras de derivação, calcule as derivadas indicadas:
(1,5 pts) y=log 3(6 a^2 x+3 x^a), d^2 yd a^2= ?

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada em relação a a de
y = log3l(6a^2x + 3x^ar)
Vamos usar:
  1. Regra da cadeia para logaritmo de base 3.
  2. Derivada de x^a em relação a a.
  3. Regra do quociente para obter a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro calculamos
dyda usando
ddal[log3(u)r] = u'u,ln 3,
onde u = 6a^2x + 3x^a. Então
dyda = dda(6a^2x + 3x^a)(6a^2x + 3x^a)ln 3 = 12ax + 3x^aln x(6a^2x + 3x^a)ln 3
Fatorando 3 em cima e embaixo, obtemos
dyda = 4ax + x^aln xl(2a^2x + x^ar)ln 3

Passo 3

Para a segunda derivada, defina
u = 4ax + x^aln x, v = 2a^2x + x^a,
de modo que
dyda = uv,ln 3
Logo
d^2yda^2 = ddal(uv,ln 3r) = u'v - uv'(v,ln 3)^2

Passo 4

Calculamos as derivadas de u e v:
u' = dda(4ax + x^aln x) = 4x + x^a(ln x)^2,
v' = dda(2a^2x + x^a) = 4ax + x^aln x
Substituindo em
d^2yda^2 = u'v - uv'(v,ln 3)^2, temos o numerador
(4x + x^a(ln x)^2)(2a^2x + x^a) - (4ax + x^aln x)^2

Passo 5

Expandindo e simplificando o numerador chega-se a
-4a^2x^2 ;+;2x^a+1;-;4a,x^a+1ln x;+;a^2x^a+1(ln x)^2
O denominador é l(2a^2x + x^ar)^2(ln 3)^2.

Resposta

d^2yda^2 = -4a^2x^2 + 2x^a+1 - 4a,x^a+1ln x + a^2x^a+1(ln x)^2 l(2a^2x + x^ar)^2(ln 3)^2

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