A superfície de um lago é representada por uma região A no plano x 0 y, de modo que a profundidade, em metros, sob o ponto (x, y), é dada por P(x, y)=500-3 x^2-6 y^2. Em que direção um bote no ponto (10,5) deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente? Em que direção a profundidade permanece a mesma?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície de um lago representada pela função de profundidade $ P(x, y) = 500 - 3x^{2} - 6y^{2} $. Queremos descobrir em qual direção, a partir do ponto P(x, y) = 500 - 3x^2 - 6y^2 , o bote deve navegar para que a profundidade da água diminua mais rapidamente. Além disso, precisamos saber em qual direção a profundidade permanece a mesma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ P(x, y) P(x, y) \nabla P $) é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $.
Calculando as derivadas parciais:
nabla P
x
Então, o gradiente é:
y

Passo 3

No ponto (10, 5), vamos substituir os valores de $ x $ e $ y $ no gradiente:
x
Esse vetor y indica a direção em que a profundidade está aumentando mais rapidamente. Mas como queremos a direção em que a profundidade diminui mais rapidamente, devemos considerar o vetor oposto, ou seja, nabla P(10, 5) = ( -6 times 10, -12 times 5 ) = (-60, -60) .

Passo 4

Para encontrar a direção em que a profundidade permanece a mesma, precisamos de uma direção que seja perpendicular ao gradiente. Um vetor perpendicular a (-60, -60) pode ser, por exemplo, (60, -60) ou simplificando, (1, -1).

Resposta

No ponto (10, 5), o bote deve navegar na direção do vetor (60, 60) para que a profundidade da água diminua mais rapidamente. Além disso, navegar na direção perpendicular ao gradiente, como (1, -1), fará com que a profundidade permaneça a mesma.

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