A superfície de um lago é representada por uma região A no plano
, de modo que a profundidade, em metros, sob o ponto
, é dada por
. Em que direção um bote no ponto
deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente? Em que direção a profundidade permanece a mesma?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície de um lago representada pela função de profundidade $ P(x, y) = 500 - 3x^{2} - 6y^{2} $. Queremos descobrir em qual direção, a partir do ponto
, o bote deve navegar para que a profundidade da água diminua mais rapidamente. Além disso, precisamos saber em qual direção a profundidade permanece a mesma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ P(x, y)
\nabla P $) é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $.
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 3
No ponto
, vamos substituir os valores de $ x $ e $ y $ no gradiente:
Esse vetor
indica a direção em que a profundidade está aumentando mais rapidamente. Mas como queremos a direção em que a profundidade diminui mais rapidamente, devemos considerar o vetor oposto, ou seja,
.
Passo 4
Para encontrar a direção em que a profundidade permanece a mesma, precisamos de uma direção que seja perpendicular ao gradiente. Um vetor perpendicular a
pode ser, por exemplo,
ou simplificando,
.
Resposta
No ponto
, o bote deve navegar na direção do vetor
para que a profundidade da água diminua mais rapidamente. Além disso, navegar na direção perpendicular ao gradiente, como
, fará com que a profundidade permaneça a mesma.