Questão 4(2,0) : Utilize o teste de sua escolha para verificar se a série abaixo é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3 n)!}{(n!)^{3} 28^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3n)!}{(n!)^{3} 28^{n}}
e pede para verificar se essa série é convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{(3n)!}{(n!)^{3}28^{n}}.
  • Não há outras condições; a pergunta é sobre convergência ou divergência da série infinita.

Passo 2

Escolha do método: como o termo geral envolve fatoriais e uma potência 28^{n}, o Teste da razão (critério de d’Alembert) é o mais prático. Explico por quê: o teste da razão trabalha bem quando os termos têm fatoriais ou potências porque o quociente a_{n+1}/a_n simplifica usando propriedades de fatoriais, permitindo obter um limite simples. Outros testes (como comparação direta) seriam mais complicados aqui.
Enunciado do Teste da razão (d’Alembert) e como usá-lo:
  • Seja (a_n) o termo geral (podemos considerar seus valores absolutos se necessário). Defina
L=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Também recordando propriedades de fatoriais que vou usar:
  • (n+1)!=(n+1)\cdot n!.
  • Para inteiros k\ge1, (m+k)!/(m)!=(m+1)(m+2)\cdots(m+k).

Passo 3

Calcular explicitamente o quociente \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Primeiro escrevo a_n e a_{n+1}:
a_n=\frac{(3n)!}{(n!)^{3}28^{n}},\qquad a_{n+1}=\frac{(3(n+1))!}{((n+1)!)^{3}28^{n+1}}=\frac{(3n+3)!}{(n+1)!^{3}28^{n+1}}.
Agora o quociente:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3n+3)!}{(n+1)!^{3}28^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^{3}28^{n}}{(3n)!}.
Usando (3n+3)!/(3n)!=(3n+3)(3n+2)(3n+1) e (n!)^{3}/(n+1)!^{3}=1/(n+1)^{3}, obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)^{3}\,28}.

Passo 4

Calcular o limite L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Para isso, divido numerador e denominador por n^{3} (ou vejo cada fator em forma 3+\tfrac{\text{const}}{n}):
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3+\tfrac{3}{n})(3+\tfrac{2}{n})(3+\tfrac{1}{n})}{28\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{3}}.
Tomando n\to\infty os termos \tfrac{1}{n}\to0, então
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3\cdot 3\cdot 3}{28\cdot 1} = \frac{27}{28}.
Observação: \dfrac{27}{28}<1.

Passo 5

Aplicando o Teste da razão: como L=\dfrac{27}{28}<1, a série converge absolutamente. Portanto a série original é convergente.

Resposta

A série converge absolutamente (critério da razão: L=\tfrac{27}{28}<1).

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