Um sistema com 4 kg passa por um processo no qual 132 kJ de calor é transferido da vizinhança para o sistema. A energia interna específica do sistema aumenta 30 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.

Assuma que:

  • a aceleração da gravidade é constante e igual a 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
  • o calor recebido pelo sistema tem sinal positivo e o calor rejeitado pelo sistema tem sinal negativo.
  • o trabalho recebido pelo sistema tem sinal positivo e o trabalho feito pelo sistema tem sinal negativo.
Nas respostas dos próximos itens, insira o valor do trabalho utilizando sinal positivo ou negativo, de acordo com a convenção de sinais adotada para o sistema neste exercício. A variação de volume e de temperatura deve ser considerada negativa quando decrescer e positiva, quando crescer.
( \mathbf{5 0} \boldsymbol{\%} ) Assumindo que a velocidade do sistema varia de \mathbf{2} a \mathbf{3 7 ~ m} / \mathrm{s} e que a altura do sistema aumenta \mathbf{6 4 4 ~ m} durante o processo, o trabalho que ocorre nesse processo é
kJ e a variação da temperatura do sistema é \_\_\_\_ { }^{\circ} \mathrm{C} se o processo pode ser considerado politrópico com expoente igual a 3.752 e o sistema se comporta como um gás ideal com constante igual a 0.15 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedidos: o trabalho que ocorre no processo (com o sinal de acordo com a convenção dada) e a variação da temperatura do sistema (em °C) quando o processo é politrópico com expoente n=3{,}752.
  • Dados fornecidos:
    • massa do sistema: m=4\\ \mathrm{kg}.
    • calor transferido para o sistema: Q=+132\\ \mathrm{kJ} (sinal positivo pois calor entra).
    • aumento da energia interna específica: \Delta u_{\text{esp}}=30\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
    • velocidade inicial: v_1=2\\ \mathrm{m/s}.
    • velocidade final: v_2=37\\ \mathrm{m/s}.
    • aumento de altura: \Delta z=644\\ \mathrm{m}.
    • aceleração da gravidade: g=8\\ \mathrm{m/s^2}.
    • processo politrópico com expoente n=3{,}752.
    • constante do gás (constante específica): R=0{,}15\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg\cdot K}.
  • Convenções de sinal (relevantes para a energia): calor recebido positivo; trabalho recebido positivo (portanto, trabalho feito pelo sistema será negativo).

Passo 2

Calcular a variação total da energia interna ( \Delta U) do sistema a partir da variação específica dada.
  • A variação de energia interna total do sistema é
\Delta U = m\;\Delta u_{\text{esp}}.
  • Substituindo:
\Delta U = 4\\ \mathrm{kg}\times 30\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg} = 120\\ \mathrm{kJ}.
Explicação didática: \Delta u_{\text{esp}} é a variação da energia interna por unidade de massa (kJ/kg). Multiplicando pela massa obtemos a variação total da energia interna do sistema em kJ.

Passo 3

Calcular a variação de energia cinética ( \Delta KE) do sistema.
  • Fórmula geral:
\Delta KE = \tfrac{1}{2} m \left(v_2^2 - v_1^2\right).
  • Substituindo os valores:
\Delta KE = \tfrac{1}{2}\times 4\\ \mathrm{kg}\times\left(37^2-2^2\right)\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  • Cálculo:
37^2-2^2 = 1369-4 = 1365,
\Delta KE = 2\times 1365\\ \mathrm{J} = 2730\\ \mathrm{J}.
  • Converter para kJ:
\Delta KE = 2730\\ \mathrm{J} = 2{,}730\\ \mathrm{kJ}.
Explicação didática: energia cinética é \tfrac12 m v^2. A variação usa a diferença dos quadrados das velocidades. Como queremos kJ, convertemos de joules dividindo por 1000.

Passo 4

Calcular a variação de energia potencial gravitacional ( \Delta PE) do sistema.
  • Fórmula:
\Delta PE = m g \Delta z.
  • Substituindo:
\Delta PE = 4\\ \mathrm{kg}\times 8\\ \mathrm{m/s^2}\times 644\\ \mathrm{m}.
  • Cálculo:
\Delta PE = 32\times 644\\ \mathrm{J} = 20608\\ \mathrm{J}.
  • Converter para kJ:
\Delta PE = 20608\\ \mathrm{J} = 20{,}608\\ \mathrm{kJ}.
Explicação didática: \Delta PE = massa × gravidade × variação de altura. Novamente convertemos J para kJ.

Passo 5

Somar todas as variações de energia para obter a variação total de energia do sistema ( \Delta E).
  • A variação total de energia inclui energia interna, cinética e potencial:
\Delta E = \Delta U + \Delta KE + \Delta PE.
  • Substituindo os valores calculados:
\Delta E = 120\\ \mathrm{kJ} + 2{,}730\\ \mathrm{kJ} + 20{,}608\\ \mathrm{kJ}.
  • Somando:
\Delta E = 143{,}338\\ \mathrm{kJ}.
Comentário: mantenho a mesma unidade (kJ) em todas as parcelas para somar diretamente.

Passo 6

Aplicar a primeira lei da termodinâmica para o sistema fechado com a convenção de sinais dada para calor e trabalho.
  • A primeira lei (forma apropriada à convenção do enunciado, onde o trabalho recebido é positivo) é
\Delta E = Q + W,
em que W é o trabalho líquido recebido pelo sistema (positivo se recebido, negativo se feito pelo sistema).
  • Isolando W:
W = \Delta E - Q.
  • Substituindo \Delta E=143{,}338\\ \mathrm{kJ} e Q=+132\\ \mathrm{kJ}:
W = 143{,}338\\ \mathrm{kJ} - 132\\ \mathrm{kJ} = 11{,}338\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação do sinal: W é positivo, ou seja, o sistema recebeu 11{,}338\\ \mathrm{kJ} de trabalho líquido (segundo a convenção do enunciado).

Passo 7

Relacionar o trabalho em um processo politrópico com a variação de temperatura para um gás ideal — derivação e fórmula útil.
  • Para um processo politrópico fechado: P V^n = \text{constante}.
  • Para gás ideal: P V = m R T.
  • Combinar as duas expressões leva à relação entre T e V:
T V^{\,n-1} = \text{constante},
ou seja, T\propto V^{\,1-n}.
  • O trabalho realizado pelo sistema (trabalho de fronteira, isto é, trabalho feito pelo sistema) em um processo politrópico é
W_{\text{by}} = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV = \frac{mR\,(T_2-T_1)}{1-n}.
  • Como o enunciado usa sinal positivo para trabalho recebido, o trabalho recebido pelo sistema é
W = -W_{\text{by}} = \frac{mR\,(T_2-T_1)}{\,n-1\,}.
  • Denotando \Delta T = T_2-T_1, isolamos:
\Delta T = \frac{W\,(n-1)}{mR}.
Explicação didática: a expressão acima vem de substituir P=mRT/V e usar a dependência T(V) do processo politrópico. É uma forma muito prática: ela relaciona o trabalho (no sentido recebido) diretamente com a mudança de temperatura para um gás ideal submetido a um politrópico.

Passo 8

Calcular a variação de temperatura \Delta T usando a fórmula obtida.
  • Fórmula:
\Delta T = \frac{W\,(n-1)}{mR}.
  • Substituindo os valores (usar W=11{,}338\\ \mathrm{kJ}, n-1=3{,}752-1=2{,}752, m=4\\ \mathrm{kg}, R=0{,}15\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg\cdot K}):
\Delta T = \frac{11{,}338\\ \mathrm{kJ}\times 2{,}752}{4\\ \mathrm{kg}\times 0{,}15\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg\cdot K}}.
  • Cálculo do numerador:
11{,}338\times 2{,}752 \approx 31{,}202\\ \mathrm{kJ}.
  • Denominador:
4\times 0{,}15 = 0{,}60\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{K}.
  • Portanto:
\Delta T \approx \frac{31{,}202}{0{,}60}\\ \mathrm{K} \approx 52{,}00\\ \mathrm{K}.
Observação final: uma variação de temperatura em Kelvin tem o mesmo valor numérico (diferença) em graus Celsius, portanto \Delta T\approx 52{,}00\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

W=+11{,}34\\ \mathrm{kJ}\n \Delta T=+52{,}00\\ ^\circ\mathrm{C}

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