Questão 3 (Resposta no verso) Para a função f(x) dada abaixo, encontre:
(a)( 0.5 ponto) Seu domínio
(b) ( 1 ponto) f^{\prime}(x) e f^{\prime \prime}(x);
(c) ( 1 ponto) intervalos de crescimento e decrescimento de f;
(d) ( 0.5 ponto) máximos e mínimos locais de f;
(e) ( 0.5 ponto) concavidade e os pontos de inflexão de f;
(f) (1 ponto) as assíntotas horizontais e verticais de f, quando existir;
(g) Esboce seu gráfico.
f(x)=e^{-2 x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede várias informações. Vou listar claramente o que é pedido e o que temos:
  • Função dada: f(x)=e^{-2x^{2}+x}.
  • Pedidos:
    (a) o domínio de f;
    (b) f^{\prime}(x) e f^{\prime\prime}(x);
    (c) intervalos de crescimento e decrescimento;
    (d) máximos e mínimos locais;
    (e) concavidade e pontos de inflexão;
    (f) assíntotas horizontais e verticais;
    (g) esboço do gráfico.
  • Informação útil já disponível: a função é uma exponencial cujo expoente é o polinômio -2x^{2}+x. Não há divisão por expressões que possam gerar pontos de descontinuidade nem raízes de índice par — mas eu vou checar limites e derivadas quando necessário.

Passo 2

Vou calcular f^{\prime}(x). Antes, uma mini-aula rápida sobre regra de cadeia (essencial aqui):
  • Regra de cadeia: se h(x)=\exp(u(x)) com u diferenciável, então h'(x)=u'(x)\,\exp(u(x)). Ou seja, derivada da exponencial é a própria exponencial vezes a derivada do expoente.
    Aplicando isso à nossa função com u(x)=-2x^{2}+x:
  • Primeiro calcule u'(x). u(x)=-2x^{2}+x \quad\Rightarrow\quad u'(x) = -4x+1.
  • Assim, usando a regra de cadeia, f^{\prime}(x) = u'(x)\,e^{u(x)} = (-4x+1)\,e^{-2x^{2}+x}.
Repare que e^{-2x^{2}+x}>0 para todo x, então o sinal de f' é dado por -4x+1.

Passo 3

Agora calcule f^{\prime\prime}(x). Vamos usar regra do produto e regra da cadeia. Mini-aula sobre regra do produto:
  • Se v(x)=a(x)b(x) então v'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
    Aqui f'(x)=(-4x+1)\,e^{u(x)} com u(x)=-2x^{2}+x. Tome a(x)=-4x+1 e b(x)=e^{u(x)}.
  • Calcule a'(x)=-4.
  • Já sabemos b'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}=(-4x+1)\,e^{u(x)} (regra de cadeia).
    Aplicando a regra do produto:
f^{\prime\prime}(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x) = -4\,e^{u(x)} + (-4x+1)\bigl((-4x+1)\,e^{u(x)}\bigr).
Fatorando e^{u(x)}:
f^{\prime\prime}(x) = e^{u(x)}\Bigl(-4 + (-4x+1)^{2}\Bigr).
Agora desenvolvo o quadrado e simplifico:
(-4x+1)^{2}=16x^{2}-8x+1,
logo
-4 + (-4x+1)^{2} = -4 + 16x^{2}-8x+1 = 16x^{2}-8x-3.
Portanto
f^{\prime\prime}(x) = e^{-2x^{2}+x}\bigl(16x^{2}-8x-3\bigr).

Passo 4

Determino o domínio (resposta do item (a)) e os pontos críticos (para (b)/(c)/(d)).
  • Domínio: a função exponencial e^{\text{polinômio}}ô está definida para todo x\in\mathbb{R}. Então o domínio é \mathbb{R}.
  • Pontos críticos: resolvo f'(x)=0. Como e^{-2x^{2}+x}>0, basta resolver -4x+1=0, logo -4x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{4}.
Então há um único ponto crítico x=\tfrac{1}{4}. Vou analisar o sinal de f' para classificar (isso serve para (c) e (d)).

Passo 5

Análise de crescimento/decrescimento (item (c)) e classificação do ponto crítico (item (d)):
  • Sinal de f': \displaystyle f'(x)=(-4x+1)\,e^{-2x^{2}+x}. Como a exponencial é sempre positiva, o sinal vem de -4x+1.
    • -4x+1>0 quando x<\tfrac{1}{4} f'(x)>0 f é crescente em (-\infty,\tfrac{1}{4}).
    • -4x+1<0 quando x>\tfrac{1}{4} f'(x)<0 f é decrescente em (\tfrac{1}{4},\infty).
  • Como a derivada muda de positiva para negativa em x=\tfrac{1}{4}, isso indica um máximo local em x=\tfrac{1}{4}.
  • Valor da função no máximo: f\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)=\exp\Bigl(-2\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}+\tfrac{1}{4}\Bigr)=\exp\Bigl(-2\cdot\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{4}\Bigr)=\exp\Bigl(-\tfrac{1}{8}+\tfrac{2}{8}\Bigr)=\exp\Bigl(\tfrac{1}{8}\Bigr).
  • Não há mínimo local, pois existe apenas esse ponto crítico que é máximo.

Passo 6

Concavidade e pontos de inflexão (item (e)). Vou analisar o sinal de f''(x)=e^{-2x^{2}+x}\bigl(16x^{2}-8x-3\bigr).
  • De novo, a exponencial é positiva, então o sinal de f'' é o sinal do polinômio quadrático g(x)=16x^{2}-8x-3.
  • Encontro as raízes de g (mini-aula rápida sobre resolução de quadrática): uso a fórmula quadrática x=\frac{ -b \pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a},com a=16, b=-8, c=-3. O discriminante é \Delta = (-8)^{2}-4\cdot16\cdot(-3)=64+192=256,\quad\sqrt{\Delta}=16.Então as raízes são x=\frac{8\pm16}{32}.Isso dá x_{1}=\frac{8-16}{32}=-\frac{1}{4},\qquad x_{2}=\frac{8+16}{32}=\frac{3}{4}.
  • Como o coeficiente a=16>0, o gráfico de g é um parabola voltada para cima, logo g(x)<0 entre as raízes e g(x)>0 fora do intervalo entre as raízes.
    • Assim f''(x)>0 (côncava para cima) em (-\infty,-\tfrac{1}{4})\cup(\tfrac{3}{4},\infty).
    • f''(x)<0 (côncava para baixo) em (-\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}).
  • Pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0 e há troca de sinal: esses são x=-\tfrac{1}{4} e x=\tfrac{3}{4}. Valores da função nesses pontos: f\Bigl(-\tfrac{1}{4}\Bigr)=\exp\Bigl(-2\cdot\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{4}\Bigr)=\exp\Bigl(-\tfrac{1}{8}-\tfrac{2}{8}\Bigr)=\exp\Bigl(-\tfrac{3}{8}\Bigr).
f\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)=\exp\Bigl(-2\cdot\tfrac{9}{16}+\tfrac{3}{4}\Bigr)=\exp\Bigl(-\tfrac{18}{16}+\tfrac{12}{16}\Bigr)=\exp\Bigl(-\tfrac{6}{16}\Bigr)=\exp\Bigl(-\tfrac{3}{8}\Bigr).
Curiosidade útil na prova: ambos os pontos de inflexão têm o mesmo valor e^{-3/8}.

Passo 7

Assíntotas (item (f)). Mini-aula sobre assíntotas horizontais e verticais:
  • Assíntota vertical só aparece quando a função não está definida em algum ponto (p.ex. divisão por zero) e o limite lateral tende a \pm\infty. Aqui f está definida para todo x, então não há assíntotas verticais.
  • Assíntota horizontal checamos os limites \lim_{x\to\infty}f(x) e \lim_{x\to-\infty}f(x).
    • Para x\to\infty, o expoente -2x^{2}+x = -2x^{2}\bigl(1 - \tfrac{1}{2x}\bigr) tende a -\infty (porque o termo -2x^{2} domina). Assim \lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} e^{-2x^{2}+x}=0^{+}.
    • Para x\to-\infty, novamente -2x^{2}+x\to -\infty (o termo quadrático negativo domina), então \lim_{x\to-\infty} f(x)=0^{+}.
    Portanto existe uma assíntota horizontal y=0 em ambos os lados. Não há outras assíntotas horizontais nem oblíquas.

Passo 8

Esboço do gráfico (item (g)) — instruções e pontos-chave para desenhar rapidamente na prova:
  • Domínio: toda a reta, imagem positiva f(x)>0.
  • Assíntota horizontal: y=0. A curva se aproxima de 0 quando x\to\pm\infty.
  • Cresce em (-\infty,\tfrac{1}{4}), decresce em (\tfrac{1}{4},\infty). Logo há um único pico (máximo) em x=\tfrac{1}{4} com valor f(\tfrac{1}{4})=e^{1/8}.
  • Concavidade: côncava para cima em (-\infty,-\tfrac{1}{4}) e em (\tfrac{3}{4},\infty); côncava para baixo em (-\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}).
  • Pontos de inflexão em \bigl(-\tfrac{1}{4},e^{-3/8}\bigr) e \bigl(\tfrac{3}{4},e^{-3/8}\bigr).
  • Desenho prático: comece bem perto do eixo y=0 para x\ll0, sobe de forma côncava para cima até mudar de concavidade em x=-\tfrac{1}{4}, continua subindo mais suavemente (côncava para baixo) até atingir o máximo em x=\tfrac{1}{4}, depois desce (a princípio côncava para baixo) atravessando o ponto de inflexão em x=\tfrac{3}{4} e, para x\gg0, aproxima-se novamente de y=0. Marque os pontos numéricos \bigl(-\tfrac{1}{4},e^{-3/8}\bigr), \bigl(\tfrac{1}{4},e^{1/8}\bigr), \bigl(\tfrac{3}{4},e^{-3/8}\bigr) e a assíntota y=0.

Resposta

(a) Domínio: \mathbb{R}
(b) \displaystyle f^{\prime}(x)=(-4x+1)\,e^{-2x^{2}+x}
\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=e^{-2x^{2}+x}\bigl(16x^{2}-8x-3\bigr)
(c) Crescimento: (-\infty,\tfrac{1}{4})
Decrescimento: (\tfrac{1}{4},\infty)
(d) Máximo local em x=\tfrac{1}{4} com f\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=e^{1/8}. Não há mínimo local.
(e) Côncava para cima em (-\infty,-\tfrac{1}{4})\cup(\tfrac{3}{4},\infty)
Côncava para baixo em (-\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4})
Pontos de inflexão em x=-\tfrac{1}{4} e x=\tfrac{3}{4} com f\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)=f\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)=e^{-3/8}.
(f) Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntota horizontal: y=0 (em x\to\pm\infty).
(g) Esboço: curva positiva que se aproxima de y=0 quando x\to\pm\infty, cresce até o máximo \bigl(\tfrac{1}{4},e^{1/8}\bigr) e depois decresce; pontos de inflexão em \bigl(-\tfrac{1}{4},e^{-3/8}\bigr) e \bigl(\tfrac{3}{4},e^{-3/8}\bigr).

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