Questão 3 (Resposta no verso) Para a função
dada abaixo, encontre:
(a)( 0.5 ponto) Seu domínio
(b) ( 1 ponto)
e
;
(c) ( 1 ponto) intervalos de crescimento e decrescimento de
;
(d) ( 0.5 ponto) máximos e mínimos locais de
;
(e) ( 0.5 ponto) concavidade e os pontos de inflexão de
;
(f) (1 ponto) as assíntotas horizontais e verticais de
, quando existir;
(g) Esboce seu gráfico.
(a)( 0.5 ponto) Seu domínio
(b) ( 1 ponto)
(c) ( 1 ponto) intervalos de crescimento e decrescimento de
(d) ( 0.5 ponto) máximos e mínimos locais de
(e) ( 0.5 ponto) concavidade e os pontos de inflexão de
(f) (1 ponto) as assíntotas horizontais e verticais de
(g) Esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede várias informações. Vou listar claramente o que é pedido e o que temos:
- Função dada:
. - Pedidos:
(a) o domínio de;
(b)e ;
(c) intervalos de crescimento e decrescimento;
(d) máximos e mínimos locais;
(e) concavidade e pontos de inflexão;
(f) assíntotas horizontais e verticais;
(g) esboço do gráfico. - Informação útil já disponível: a função é uma exponencial cujo expoente é o polinômio
. Não há divisão por expressões que possam gerar pontos de descontinuidade nem raízes de índice par — mas eu vou checar limites e derivadas quando necessário.
Passo 2
Vou calcular
. Antes, uma mini-aula rápida sobre regra de cadeia (essencial aqui):
- Regra de cadeia: se
com diferenciável, então . Ou seja, derivada da exponencial é a própria exponencial vezes a derivada do expoente.
Aplicando isso à nossa função com: - Primeiro calcule
. - Assim, usando a regra de cadeia,
Repare que
para todo
, então o sinal de
é dado por
.
Passo 3
Agora calcule
. Vamos usar regra do produto e regra da cadeia. Mini-aula sobre regra do produto:
- Se
então .
Aquicom . Tome e . - Calcule
. - Já sabemos
(regra de cadeia).
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
:
Agora desenvolvo o quadrado e simplifico:
logo
Portanto
Passo 4
Determino o domínio (resposta do item (a)) e os pontos críticos (para (b)/(c)/(d)).
- Domínio: a função exponencial
está definida para todo . Então o domínio é . - Pontos críticos: resolvo
. Como , basta resolver , logo
Então há um único ponto crítico
. Vou analisar o sinal de
para classificar (isso serve para (c) e (d)).
Passo 5
Análise de crescimento/decrescimento (item (c)) e classificação do ponto crítico (item (d)):
- Sinal de
: . Como a exponencial é sempre positiva, o sinal vem de . -
quando → → é crescente em . -
quando → → é decrescente em .
-
- Como a derivada muda de positiva para negativa em
, isso indica um máximo local em . - Valor da função no máximo:
- Não há mínimo local, pois existe apenas esse ponto crítico que é máximo.
Passo 6
Concavidade e pontos de inflexão (item (e)). Vou analisar o sinal de
.
- De novo, a exponencial é positiva, então o sinal de
é o sinal do polinômio quadrático - Encontro as raízes de
(mini-aula rápida sobre resolução de quadrática): uso a fórmula quadrática com , , . O discriminante é Então as raízes são Isso dá - Como o coeficiente
, o gráfico de é um parabola voltada para cima, logo entre as raízes e fora do intervalo entre as raízes. - Assim
(côncava para cima) em . -
(côncava para baixo) em .
- Assim
- Pontos de inflexão ocorrem onde
e há troca de sinal: esses são e . Valores da função nesses pontos:
Curiosidade útil na prova: ambos os pontos de inflexão têm o mesmo valor
.
Passo 7
Assíntotas (item (f)). Mini-aula sobre assíntotas horizontais e verticais:
- Assíntota vertical só aparece quando a função não está definida em algum ponto (p.ex. divisão por zero) e o limite lateral tende a
. Aqui está definida para todo , então não há assíntotas verticais. - Assíntota horizontal checamos os limites
e . - Para
, o expoente tende a (porque o termo domina). Assim - Para
, novamente (o termo quadrático negativo domina), então
em ambos os lados. Não há outras assíntotas horizontais nem oblíquas. - Para
Passo 8
Esboço do gráfico (item (g)) — instruções e pontos-chave para desenhar rapidamente na prova:
- Domínio: toda a reta, imagem positiva
. - Assíntota horizontal:
. A curva se aproxima de 0 quando . - Cresce em
, decresce em . Logo há um único pico (máximo) em com valor . - Concavidade: côncava para cima em
e em ; côncava para baixo em . - Pontos de inflexão em
e . - Desenho prático: comece bem perto do eixo
para , sobe de forma côncava para cima até mudar de concavidade em , continua subindo mais suavemente (côncava para baixo) até atingir o máximo em , depois desce (a princípio côncava para baixo) atravessando o ponto de inflexão em e, para , aproxima-se novamente de . Marque os pontos numéricos , , e a assíntota .
Resposta
(a) Domínio:
(b)
(c) Crescimento:
Decrescimento:
Decrescimento:
(d) Máximo local em
com
. Não há mínimo local.
(e) Côncava para cima em
Côncava para baixo em
Pontos de inflexão em e
com
.
Côncava para baixo em
Pontos de inflexão em
(f) Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntota horizontal: (em
).
Assíntota horizontal:
(g) Esboço: curva positiva que se aproxima de
quando
, cresce até o máximo
e depois decresce; pontos de inflexão em
e
.