Questão. Encontre os pontos críticos da função g dada.
g(x)=\sqrt{x}(6-x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de g(x)=raizx,(6-x). O conteúdo é cálculo diferencial: precisamos identificar o domínio de g, derivar g e achar onde g' é zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio de g. Como há raizx, exige-se x>=0. Logo o domínio é [0,infty).

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto para obter g'(x). Escrevendo g(x)=x^1/2(6-x), temos
g'(x) =12x^-1/2(6-x)+x^1/2,(-1)
Para simplificar, fatoramos 1/(2raizx):
g'(x) =6-x2raizx-2raizx2 =6-x-2x2raizx =6-3x2raizx

Passo 4

Os pontos onde g'(x)=0 satisfazem o numerador zero, pois o denominador ,2raizxneq0 para x>0. Assim,
6-3x=0 Longrightarrow x=2

Passo 5

Também conferimos onde g' não existe dentro do domínio. O denominador 2raizx anula-se em x=0, de modo que g' não está definido em x=0. Como x=0 pertence ao domínio, é outro ponto crítico.

Resposta

Os pontos críticos de g são
x=0 e x=2

Exercícios relacionados