Seja
, com
:
(a) Determine o valor mínimo ou máximo da função.
(b) Determine o domínio e a imagem.
(c) A função é injetora nesse intervalo? É sobrejetora sobre sua imagem?
(a) Determine o valor mínimo ou máximo da função.
(b) Determine o domínio e a imagem.
(c) A função é injetora nesse intervalo? É sobrejetora sobre sua imagem?
Passo 1
O enunciado trata da função quadrática
no intervalo
.
Conteúdo: extrema de função polinomial de 2º grau, domínio e imagem de função contínua em intervalo fechado, e conceitos de injetividade e sobrejetividade.
Conteúdo: extrema de função polinomial de 2º grau, domínio e imagem de função contínua em intervalo fechado, e conceitos de injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Para achar extremos, calculemos a derivada:
Impondo
temos
Como o coeficiente de
é
, a parábola é côncava para cima e
dá o mínimo. Avaliando:
Agora os extremos nos limites do intervalo:
Portanto o valor mínimo é
em
e o máximo é
em
e
.
Passo 3
O domínio é dado no enunciado, ou seja
Como
é contínua em
e atinge valores de
até
, a imagem é
Passo 4
Uma função é injetora se valores diferentes de
geram valores diferentes de
. Aqui, como a parábola decresce de
até
e cresce de
até
, há duas abscissas que dão o mesmo
(por exemplo
). Logo, não é injetora em
.
Por outro lado, considerando a imagem , para cada
nesse intervalo existe pelo menos um
tal que
. Assim,
é sobrejetora sobre sua imagem.
Por outro lado, considerando a imagem
Resposta
(a) Mínimo
em
; máximo
em
e
.
(b) ;
.
(c) Não é injetora em ; é sobrejetora sobre
.
(b)
(c) Não é injetora em