Seja f(x)=x^2+2 x+5, com x in[-3,1] :
(a) Determine o valor mínimo ou máximo da função.
(b) Determine o domínio e a imagem.
(c) A função é injetora nesse intervalo? É sobrejetora sobre sua imagem?

Passo 1

O enunciado trata da função quadrática
f(x)=x^2+2x+5
no intervalo [-3,1].
Conteúdo: extrema de função polinomial de 2º grau, domínio e imagem de função contínua em intervalo fechado, e conceitos de injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Para achar extremos, calculemos a derivada:
f'(x)=2x+2
Impondo f'(x)=0 temos
2x+2=0Longrightarrow x=-1
Como o coeficiente de x^2 é 1>0, a parábola é côncava para cima e x=-1 dá o mínimo. Avaliando:
f(-1)=(-1)^2+2(-1)+5=1-2+5=4
Agora os extremos nos limites do intervalo:
f(-3)=(-3)^2+2(-3)+5=9-6+5=8,
f(1)=1^2+2cdot1+5=1+2+5=8
Portanto o valor mínimo é 4 em x=-1 e o máximo é 8 em x=-3 e x=1.

Passo 3

O domínio é dado no enunciado, ou seja
Dom(f)=[-3,1]
Como f é contínua em [-3,1] e atinge valores de 4 até 8, a imagem é
Im(f)=[4,8]

Passo 4

Uma função é injetora se valores diferentes de x geram valores diferentes de f(x). Aqui, como a parábola decresce de -3 até -1 e cresce de -1 até 1, há duas abscissas que dão o mesmo f(x) (por exemplo f(-3)=f(1)=8). Logo, não é injetora em [-3,1].
Por outro lado, considerando a imagem [4,8], para cada y nesse intervalo existe pelo menos um xin[-3,1] tal que f(x)=y. Assim, f é sobrejetora sobre sua imagem.

Resposta

(a) Mínimo 4 em x=-1; máximo 8 em x=-3 e x=1.
(b) Dom(f)=[-3,1]; Im(f)=[4,8].
(c) Não é injetora em [-3,1]; é sobrejetora sobre [4,8].

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