^a Questão. ( 2 , 0 p t s ) Seja k uma constante e a função f definida por
f(x)=k x+ln (sen(2 x))
Obtenha k tal que f^prime(pi / 8)=6.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=k,x+lnl(sen(2x)r)
e pede para achar a constante k de modo que
f'(tfracpi8)=6
Vamos usar derivadas, em particular a regra de derivação de ln(u) e a regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar ln(sen(2x)) usamos
ddxln(u)=u'u
e a derivada de sen(2x) é cos(2x)cdot2. Assim,
f'(x) =ddxl(kxr)+ddxlnl(sen(2x)r) =k+2cos(2x)sen(2x) =k+2cot(2x)

Passo 3

Avaliaremos f' em x=tfracpi8. Note que
2x=2cdottfracpi8=tfracpi4,
e cot(tfracpi4)=1. Logo,
f'l(tfracpi8r) =k+2cotl(tfracpi4r) =k+2cdot1 =k+2

Passo 4

Queremos f'(tfracpi8)=6, ou seja,
k+2=6 Longrightarrow k=4

Resposta

k=4

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