^a Questão. ( 2 , 0 p t s ) Seja y=f(x) definida pela equação
x^3+4 y^2-6 x y=0
Mostre que a reta tangente ao gráfico de f no ponto P(2,2) é horizontal.

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
x^3 + 4y^2 - 6xy = 0
e pede para mostrar que a reta tangente em P(2,2) é horizontal. Vamos usar diferenciação implícita para obter dydx e avaliar em P.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
x^3 + 4y^2 - 6xy = 0
em relação a x, obtemos
ddx(x^3) + ddx(4y^2) - ddx(6xy) = 0,
isto é,
3x^2 + 8y,dydx - l(6,y + 6x,dydxr) = 0

Passo 3

Agrupando os termos com dydx e os demais, vem
(8y - 6x),dydx + (3x^2 - 6y) = 0,
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dydx = 6y - 3x^28y - 6x

Passo 4

Em P(2,2) temos
numerador = 6cdot2 - 3cdot2^2 = 12 - 12 = 0, denominador = 8cdot2 - 6cdot2 = 16 - 12 = 4 neq 0
Portanto
dydx|(2,2) = 0,
o que mostra que a reta tangente é horizontal.

Passo 5

A equação de uma reta horizontal que passa por P(2,2) é
y = 2

Resposta

A reta tangente em P(2,2) é
y = 2,
ou seja, é horizontal.

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