Esse limite é 0 para todo x\in\mathbb{R} (e também para todo x\in\mathbb{C}). Pelo teste da razão, se o limite das razões é menor que 1 então a série converge absolutamente. Como aqui o limite é 0<1 para qualquer x fixo, a série converge absolutamente para todo x.
Passo 6
Conclusões finais e interpretação do raio/intervalo.
Como a série converge para todo x\in\mathbb{R}, o raio de convergência é infinito: R=\infty.
O intervalo de convergência no eixo real é todo o conjunto dos números reais: (-\infty,\infty).
Um comentário encorajador: a razão entre coeficientes decai como 1/(2n), muito rápido para anular qualquer crescimento de x^n, por isso a convergência para qualquer x.
Resposta
R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)