Questão 1. Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{3\cdot5\cdots(2n-1)}
e pede:
  • encontrar o raio de convergência;
  • encontrar o intervalo de convergência (no eixo real).
Informações importantes fornecidas:
  • o termo geral é a_n x^n com a_n=\dfrac{1}{3\cdot5\cdots(2n-1)} para n\ge1;
  • a série está centrada em 0 (é uma série de potências em x).

Passo 2

O que é o raio de convergência e como usaremos um teste prático.
Definição útil e prática:
  • Para uma série de potências \sum_{n=0}^\infty a_n x^n, o raio de convergência R pode ser encontrado por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
  • Quando o limite \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n+1}} existe (em valor finito ou infinito), também vale
R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|.
Outra maneira direta e muito prática é aplicar o teste da razão à série de potências: olhar
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right|
e exigir L<1 para convergência absoluta; isso dá imediatamente para quais x a série converge.
Vou usar essas ideias (a fórmula do quociente/ razão) porque são simples e rápidas aqui.

Passo 3

Identificar e manipular o coeficiente a_n.
O coeficiente da potência x^n é
a_n=\frac{1}{3\cdot5\cdots(2n-1)}.
Observe que, ao passar de n para n+1, o denominador ganha um fator (2(n+1)-1)=2n+1. Logo
3\cdot5\cdots(2n-1)\cdot(2n+1)=3\cdot5\cdots(2n-1)\,(2n+1),
portanto a relação entre coeficientes é simples:
a_{n+1}=\frac{1}{3\cdot5\cdots(2n-1)(2n+1)}=\frac{a_n}{2n+1}.

Passo 4

Calcular a razão entre coeficientes e preparar o teste da razão para a série de potências.
Da expressão anterior segue imediatamente
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2n+1}.
Agora aplicamos o teste da razão à série \sum a_n x^n. Consideramos
\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right| = |x|\cdot\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = |x|\cdot\frac{1}{2n+1}.

Passo 5

Tomar o limite quando n\to\infty e concluir sobre convergência.
Calcule o limite:
\lim_{n\to\infty} |x|\cdot\frac{1}{2n+1} = |x|\cdot 0 = 0.
Esse limite é 0 para todo x\in\mathbb{R} (e também para todo x\in\mathbb{C}). Pelo teste da razão, se o limite das razões é menor que 1 então a série converge absolutamente. Como aqui o limite é 0<1 para qualquer x fixo, a série converge absolutamente para todo x.

Passo 6

Conclusões finais e interpretação do raio/intervalo.
  • Como a série converge para todo x\in\mathbb{R}, o raio de convergência é infinito: R=\infty.
  • O intervalo de convergência no eixo real é todo o conjunto dos números reais: (-\infty,\infty).
Um comentário encorajador: a razão entre coeficientes decai como 1/(2n), muito rápido para anular qualquer crescimento de x^n, por isso a convergência para qualquer x.

Resposta

R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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