Determine os cossenos diretores do vetor que maximiza
Passo 1
O enunciado pede: determinar os cossenos diretores do vetor que maximiza
Informações dadas:
- O vetor com o qual fazemos o produto escalar é
, ou seja . - O termo “cossenos diretores” refere-se aos cossenos dos ângulos que um vetor forma com os eixos coordenados, isto é, aos componentes de um vetor unitário. Portanto vamos considerar
como um vetor unitário, ou seja com .
Nenhuma outra informação foi dada no enunciado.
Passo 2
Entender o que estamos maximizando: o produto escalar.
- Definição prática: para dois vetores
e ,
- Interpretação geométrica:
, onde é o ângulo entre e . - Cossenos diretores: para um vetor unitário
(ou seja ), suas componentes são exatamente os cossenos diretores, isto é os cossenos dos ângulos entre e os eixos .
Passo 3
Escolher a estratégia para maximizar: usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz (uma ferramenta básica e poderosa).
- Cauchy–Schwarz afirma que, para quaisquer vetores
e ,
- A igualdade ocorre quando
e são paralelos (linearmente dependentes), isto é, quando para algum .
Passo 4
Aplicar Cauchy–Schwarz ao nosso caso com a restrição
.
- Seja
. Pela desigualdade,
- Portanto o máximo possível de
, para unitário, é . - A igualdade (ou seja o máximo) acontece quando
é paralelo a e tem o mesmo sentido (para obter o valor positivo máximo).
Passo 5
Calcular o vetor unitário paralelo a
(esse vetor terá as cossenos diretores procuradas).
- Primeiro, calcular a norma de
:
- O vetor unitário com o mesmo sentido de
é
- Como
é unitário, suas componentes são exatamente os cossenos diretores.
Passo 6
Verificação rápida e comentário final:
- Verificar que os quadrados das componentes somam
:
logo está consistente.
- Observação útil para a prova: maximizar o produto escalar com vetor fixo e
unitário sempre dá o vetor unitário paralelo ao vetor fixo; o mínimo (valor negativo máximo em módulo) ocorre com o vetor unitário antiparalelo.