Determine os cossenos diretores do vetor que maximiza
\vec{x} \cdot(1,2,3),

Passo 1

O enunciado pede: determinar os cossenos diretores do vetor que maximiza
\vec{x}\cdot(1,2,3).
Informações dadas:
  • O vetor com o qual fazemos o produto escalar é (1,2,3), ou seja \vec{a}=(1,2,3).
  • O termo “cossenos diretores” refere-se aos cossenos dos ângulos que um vetor forma com os eixos coordenados, isto é, aos componentes de um vetor unitário. Portanto vamos considerar \vec{x} como um vetor unitário, ou seja com \|\vec{x}\|=1.
    Nenhuma outra informação foi dada no enunciado.

Passo 2

Entender o que estamos maximizando: o produto escalar.
  • Definição prática: para dois vetores \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) e \vec{a}=(a_1,a_2,a_3),
\vec{x}\cdot\vec{a}=x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3.
  • Interpretação geométrica: \vec{x}\cdot\vec{a}=\|\vec{x}\|\|\vec{a}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{x} e \vec{a}.
  • Cossenos diretores: para um vetor unitário \vec{x} (ou seja \|\vec{x}\|=1), suas componentes x_1,x_2,x_3 são exatamente os cossenos diretores, isto é os cossenos dos ângulos entre \vec{x} e os eixos x,y,z.

Passo 3

Escolher a estratégia para maximizar: usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz (uma ferramenta básica e poderosa).
  • Cauchy–Schwarz afirma que, para quaisquer vetores \vec{x} e \vec{a},
|\vec{x}\cdot\vec{a}|\le \|\vec{x}\|\,\|\vec{a}\|.
  • A igualdade ocorre quando \vec{x} e \vec{a} são paralelos (linearmente dependentes), isto é, quando \vec{x}=\lambda\vec{a} para algum \lambda\in\mathbb{R}.

Passo 4

Aplicar Cauchy–Schwarz ao nosso caso com a restrição \|\vec{x}\|=1.
  • Seja \vec{a}=(1,2,3). Pela desigualdade,
\vec{x}\cdot\vec{a}\le \|\vec{x}\|\,\|\vec{a}\| = 1\cdot\|\vec{a}\|=\|\vec{a}\|.
  • Portanto o máximo possível de \vec{x}\cdot\vec{a}, para \vec{x} unitário, é \|\vec{a}\|.
  • A igualdade (ou seja o máximo) acontece quando \vec{x} é paralelo a \vec{a} e tem o mesmo sentido (para obter o valor positivo máximo).

Passo 5

Calcular o vetor unitário paralelo a \vec{a} (esse vetor terá as cossenos diretores procuradas).
  • Primeiro, calcular a norma de \vec{a}:
\|\vec{a}\|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
  • O vetor unitário com o mesmo sentido de \vec{a} é
\vec{u}=\frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}}\right).
  • Como \vec{u} é unitário, suas componentes são exatamente os cossenos diretores.

Passo 6

Verificação rápida e comentário final:
  • Verificar que os quadrados das componentes somam 1:
\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)^2=\frac{1+4+9}{14}=\frac{14}{14}=1,
logo está consistente.
  • Observação útil para a prova: maximizar o produto escalar com vetor fixo e \vec{x} unitário sempre dá o vetor unitário paralelo ao vetor fixo; o mínimo (valor negativo máximo em módulo) ocorre com o vetor unitário antiparalelo.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{14}}
\dfrac{2}{\sqrt{14}}
\dfrac{3}{\sqrt{14}}

Exercícios relacionados