Encontre a série de Taylor centrada em x=0 e determine seu raio de convergência: f(x)=\frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos disponível.
Pede: encontrar a série de Taylor de f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{4+x^{2}}} centrada em x=0 (ou seja, escrever f como uma série de potências em torno de zero) e determinar o raio de convergência dessa série.
Dados: a função é f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}.
Observação importante (útil para a forma da série): f é uma função ímpar, pois f(-x)=-f(x). Isso já indica que a série de Taylor terá apenas potências ímpares de x (termos x^{2n+1}).
Passo 2
Escolher uma forma conveniente para expandir \,f(x)\, e lembrar a série binomial.
Reescreve-se a função isolando um fator constante para criar uma potência do tipo (1+\text{coisa})^{\alpha}:
No nosso caso temos \alpha=-\tfrac{1}{2} e t=\dfrac{x^{2}}{4}. A série converge quando |t|<1, ou seja quando \left|\dfrac{x^{2}}{4}\right|<1 (isso dará o raio de convergência).
Passo 3
Aplicar a série binomial com os valores específicos e montar a série de f(x).
Substituindo \alpha=-\tfrac{1}{2} e t=\dfrac{x^{2}}{4} temos
(Observação adicional: no ponto borderline x=\pm 2 tem-se t=1 e a série ainda converge condicionalmente porque \alpha=-\tfrac{1}{2}>-1; mas o enunciado pediu apenas o raio.)