Encontre a série de Taylor centrada em x=0 e determine seu raio de convergência:
f(x)=\frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível.
  • Pede: encontrar a série de Taylor de f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{4+x^{2}}} centrada em x=0 (ou seja, escrever f como uma série de potências em torno de zero) e determinar o raio de convergência dessa série.
  • Dados: a função é f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}.
  • Observação importante (útil para a forma da série): f é uma função ímpar, pois f(-x)=-f(x). Isso já indica que a série de Taylor terá apenas potências ímpares de x (termos x^{2n+1}).

Passo 2

Escolher uma forma conveniente para expandir \,f(x)\, e lembrar a série binomial.
  • Reescreve-se a função isolando um fator constante para criar uma potência do tipo (1+\text{coisa})^{\alpha}:
f(x)=\frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}=\frac{x}{2\sqrt{1+\dfrac{x^{2}}{4}}}=\frac{x}{2}\left(1+\frac{x^{2}}{4}\right)^{-1/2}.
  • Vamos usar a série binomial generalizada, válida para qualquer \alpha\in\mathbb{R} (e para |t|<1):
(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n},
onde
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.
  • No nosso caso temos \alpha=-\tfrac{1}{2} e t=\dfrac{x^{2}}{4}. A série converge quando |t|<1, ou seja quando \left|\dfrac{x^{2}}{4}\right|<1 (isso dará o raio de convergência).

Passo 3

Aplicar a série binomial com os valores específicos e montar a série de f(x).
  • Substituindo \alpha=-\tfrac{1}{2} e t=\dfrac{x^{2}}{4} temos
\left(1+\frac{x^{2}}{4}\right)^{-1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\tfrac{1}{2}}{n}\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{n}.
  • Multiplicando por \dfrac{x}{2} (o fator que estava fora) obtemos
f(x)=\frac{x}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\tfrac{1}{2}}{n}\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{n}.
  • Podemos escrever o termo geral de forma mais explícita. Usando a identidade
\binom{-\tfrac{1}{2}}{n}=(-1)^{n}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}},
obtém-se, para o coeficiente do termo x^{2n+1},
\frac{x}{2}\binom{-\tfrac{1}{2}}{n}\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{n} = (-1)^{n}\frac{(2n)!}{2\,(n!)^{2}\,16^{n}}\,x^{2n+1}.
  • Logo a série em forma de soma é
\boxed{\,f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2n)!}{2\,(n!)^{2}\,16^{n}}\,x^{2n+1}\,.}

Passo 4

Mostrar os primeiros termos explicando como calcular para n=0,1,2,3 (para praticar a manipulação de fatoriais).
  • Para n=0:
(-1)^{0}\frac{(0)!}{2\,(0!)^{2}\,16^{0}}x^{1}=\frac{1}{2}x.
  • Para n=1:
(-1)^{1}\frac{(2)!}{2\,(1!)^{2}\,16^{1}}x^{3}=-\frac{2}{2\cdot16}x^{3}=-\frac{1}{16}x^{3}.
  • Para n=2:
(-1)^{2}\frac{4!}{2\,(2!)^{2}\,16^{2}}x^{5}=\frac{24}{2\cdot4\cdot256}x^{5}=\frac{3}{256}x^{5}.
  • Para n=3:
(-1)^{3}\frac{6!}{2\,(3!)^{2}\,16^{3}}x^{7} =-\frac{720}{2\cdot36\cdot4096}x^{7}=-\frac{5}{2048}x^{7}.
  • Assim, os primeiros termos da série são
f(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^{3}}{16}+\frac{3x^{5}}{256}-\frac{5x^{7}}{2048}+\cdots.

Passo 5

Determinar o raio de convergência.
  • A série binomial para (1+t)^{\alpha} converge para |t|<1. No nosso caso t=\dfrac{x^{2}}{4}. Portanto a condição de convergência é
\left|\frac{x^{2}}{4}\right|<1\qquad\Longleftrightarrow\qquad |x|<2.
  • Logo o raio de convergência é R=2.
  • (Observação adicional: no ponto borderline x=\pm 2 tem-se t=1 e a série ainda converge condicionalmente porque \alpha=-\tfrac{1}{2}>-1; mas o enunciado pediu apenas o raio.)

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2n)!}{2\,(n!)^{2}\,16^{n}}\,x^{2n+1} =\frac{x}{2}-\frac{x^{3}}{16}+\frac{3x^{5}}{256}-\frac{5x^{7}}{2048}+\cdots
R=2

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